Номер 300, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

300. В призме $ABCA_1B_1C_1$ медианы оснований пересекаются в точках $M$ и $M_1$. Прямая $l$ проходит через середину отрезка $MM_1$ параллельно прямой $A_1C$. Сделайте соответствующий рисунок в тетради, постройте на нем точки пересечения прямой $l$ с поверхностью призмы и найдите длину отрезка с концами в этих точках, учитывая, что $A_1C = d$.

Пусть дана призма $ABCA_1B_1C_1$. Точки $M$ и $M_1$ — точки пересечения медиан оснований (центроиды) $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Пусть $O$ — середина отрезка $MM_1$. Прямая $l$ проходит через точку $O$ и параллельна прямой $A_1C$.

Для решения задачи введем векторный базис. Примем точку $A$ за начало координат. Тогда векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ можно считать базисными (для недегенерированной призмы). Положение любой точки $P$ будем описывать ее радиус-вектором $\vec{AP}$. Для краткости будем писать $\vec{P}$ вместо $\vec{AP}$.

Найдем радиус-векторы точек $M$, $M_1$ и $O$. Точка $M$ — центроид треугольника $ABC$, поэтому ее радиус-вектор:$ \vec{M} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C}) $

Аналогично, для точки $M_1$ в основании $A_1B_1C_1$:$ \vec{M_1} = \frac{1}{3}(\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}) $Учитывая, что $\vec{A_1} = \vec{AA_1}$, $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{AA_1}$, $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{AA_1}$, получаем:$ \vec{M_1} = \frac{1}{3}(\vec{A_1} + (\vec{B} + \vec{A_1}) + (\vec{C} + \vec{A_1})) = \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C} + 3\vec{A_1}) = \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C}) + \vec{A_1} $

Точка $O$ — середина отрезка $MM_1$:$ \vec{O} = \frac{1}{2}(\vec{M} + \vec{M_1}) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C}) + \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C}) + \vec{A_1}\right) = \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C}) + \frac{1}{2}\vec{A_1} $

Прямая $l$ проходит через точку $O$ и параллельна прямой $A_1C$. Направляющим вектором прямой $l$ является вектор $\vec{A_1C} = \vec{C} - \vec{A_1}$. Параметрическое уравнение прямой $l$:$ \vec{r}(t) = \vec{O} + t(\vec{C} - \vec{A_1}) = \frac{1}{3}(\vec{B} + \vec{C}) + \frac{1}{2}\vec{A_1} + t(\vec{C} - \vec{A_1}) $

Чтобы найти точки пересечения прямой $l$ с поверхностью призмы, найдем ее пересечения с плоскостями граней.

1. Пересечение с гранью $ABB_1A_1$. Уравнение точки на этой грани: $\vec{P} = u\vec{B} + v\vec{A_1}$, где $u, v \in [0, 1]$. Приравняем $\vec{r}(t)$ и $\vec{P}$:$ \frac{1}{3}\vec{B} + \frac{1}{3}\vec{C} + \frac{1}{2}\vec{A_1} + t\vec{C} - t\vec{A_1} = u\vec{B} + v\vec{A_1} $$ (\frac{1}{3} - u)\vec{B} + (\frac{1}{3} + t)\vec{C} + (\frac{1}{2} - t - v)\vec{A_1} = \vec{0} $Так как векторы $\vec{B}$, $\vec{C}$, $\vec{A_1}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю:$ \begin{cases} \frac{1}{3} - u = 0 \\ \frac{1}{3} + t = 0 \\ \frac{1}{2} - t - v = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} u = 1/3 \\ t = -1/3 \\ v = 1/2 - t = 1/2 - (-1/3) = 5/6 \end{cases} $Поскольку $0 \le u \le 1$ и $0 \le v \le 1$, точка пересечения $X$ лежит на грани $ABB_1A_1$.

2. Пересечение с гранью $BCC_1B_1$. Уравнение точки на этой грани: $\vec{P} = \vec{B} + u(\vec{C}-\vec{B}) + v(\vec{B_1}-\vec{B}) = (1-u)\vec{B} + u\vec{C} + v\vec{A_1}$, где $u, v \in [0, 1]$. Приравняем $\vec{r}(t)$ и $\vec{P}$:$ \frac{1}{3}\vec{B} + (\frac{1}{3}+t)\vec{C} + (\frac{1}{2}-t)\vec{A_1} = (1-u)\vec{B} + u\vec{C} + v\vec{A_1} $Приравниваем коэффициенты при базисных векторах:$ \begin{cases} \frac{1}{3} = 1 - u \\ \frac{1}{3} + t = u \\ \frac{1}{2} - t = v \end{cases} \implies \begin{cases} u = 2/3 \\ t = u - 1/3 = 2/3 - 1/3 = 1/3 \\ v = 1/2 - t = 1/2 - 1/3 = 1/6 \end{cases} $Поскольку $0 \le u \le 1$ и $0 \le v \le 1$, точка пересечения $Y$ лежит на грани $BCC_1B_1$.

Таким образом, прямая $l$ пересекает поверхность призмы в двух точках: $X$ на грани $ABB_1A_1$ и $Y$ на грани $BCC_1B_1$.

Точки пересечения $X$ и $Y$ соответствуют значениям параметра $t_1 = -1/3$ и $t_2 = 1/3$. Радиус-вектор точки $X$: $\vec{X} = \vec{r}(-1/3) = \vec{O} - \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{A_1})$. Радиус-вектор точки $Y$: $\vec{Y} = \vec{r}(1/3) = \vec{O} + \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{A_1})$.

Найдем вектор $\vec{XY}$:$ \vec{XY} = \vec{Y} - \vec{X} = \left(\vec{O} + \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{A_1})\right) - \left(\vec{O} - \frac{1}{3}(\vec{C} - \vec{A_1})\right) = \frac{2}{3}(\vec{C} - \vec{A_1}) = \frac{2}{3}\vec{A_1C} $

Длина отрезка $XY$ равна модулю вектора $\vec{XY}$:$ |XY| = \left|\frac{2}{3}\vec{A_1C}\right| = \frac{2}{3}|\vec{A_1C}| $

По условию задачи, длина отрезка $A_1C$ равна $d$. Следовательно, искомая длина отрезка $XY$ равна $\frac{2}{3}d$.

Ответ: $\frac{2}{3}d$.