Номер 301, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

301. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на отрезке $AC_1$ и прямой $B_1C$ выбраны соответственно точки $P$ и $Q$ так, что $PQ \parallel BD$ (рис. 110).

Найдите отношение $PQ : BD$.

Рис. 110

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы, связанные с рёбрами параллелепипеда, с началом в точке $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$. Векторы $\vec{b}$, $\vec{d}$ и $\vec{c}$ некомпланарны.

Выразим радиус-векторы нужных нам точек через базисные векторы. Точка $P$ лежит на отрезке $AC_1$. Её радиус-вектор $\vec{p} = \vec{AP}$ можно выразить как часть вектора $\vec{AC_1}$:$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{c}$. Следовательно, $\vec{p} = k \cdot \vec{AC_1} = k(\vec{b} + \vec{d} + \vec{c})$, где $k$ — некоторое действительное число из отрезка $[0, 1]$.

Точка $Q$ лежит на прямой $B_1C$. Её радиус-вектор $\vec{q} = \vec{AQ}$ можно выразить через параметрическое уравнение прямой. Прямая проходит через точку $B_1$ (с радиус-вектором $\vec{AB_1} = \vec{b} + \vec{c}$) и имеет направляющий вектор $\vec{B_1C}$.$\vec{B_1C} = \vec{AC} - \vec{AB_1} = (\vec{b}+\vec{d}) - (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{d}-\vec{c}$. Тогда радиус-вектор точки $Q$ равен:$\vec{q} = \vec{AB_1} + m \cdot \vec{B_1C} = (\vec{b} + \vec{c}) + m(\vec{d} - \vec{c}) = \vec{b} + m\vec{d} + (1-m)\vec{c}$, где $m$ — некоторое действительное число.

Теперь найдем вектор $\vec{PQ}$:$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (\vec{b} + m\vec{d} + (1-m)\vec{c}) - (k\vec{b} + k\vec{d} + k\vec{c})$. Сгруппировав коэффициенты при базисных векторах, получим:$\vec{PQ} = (1-k)\vec{b} + (m-k)\vec{d} + (1-m-k)\vec{c}$.

Вектор $\vec{BD}$ диагонали основания равен:$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$.

По условию задачи прямая $PQ$ параллельна прямой $BD$. Это означает, что вектор $\vec{PQ}$ коллинеарен вектору $\vec{BD}$, то есть существует такое число $\lambda$, что $\vec{PQ} = \lambda \cdot \vec{BD}$.$(1-k)\vec{b} + (m-k)\vec{d} + (1-m-k)\vec{c} = \lambda(\vec{d} - \vec{b}) = -\lambda\vec{b} + \lambda\vec{d} + 0\vec{c}$.

Так как векторы $\vec{b}$, $\vec{d}$, $\vec{c}$ некомпланарны, равенство векторов возможно только при равенстве их соответствующих коэффициентов. Составим систему уравнений:$$\begin{cases}1-k = -\lambda \\m-k = \lambda \\1-m-k = 0\end{cases}$$

Из третьего уравнения выразим $m$: $m = 1-k$. Подставим это выражение для $m$ во второе уравнение: $(1-k)-k = \lambda$, откуда $\lambda = 1-2k$. Теперь подставим полученное выражение для $\lambda$ в первое уравнение: $1-k = -(1-2k)$, что равносильно $1-k = -1+2k$. Решая это уравнение, находим $k$:$2 = 3k \implies k = \frac{2}{3}$.

Зная $k$, найдем $\lambda$:$\lambda = 1 - 2k = 1 - 2\left(\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.

Мы получили, что $\vec{PQ} = -\frac{1}{3}\vec{BD}$. Длины векторов связаны соотношением $PQ = |\vec{PQ}| = \left|-\frac{1}{3}\vec{BD}\right| = \frac{1}{3}|\vec{BD}| = \frac{1}{3}BD$. Следовательно, искомое отношение $PQ : BD$ равно $1 : 3$.

Ответ: $1:3$.