Номер 337, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

337. В правильной треугольной призме с боковым ребром $l$ проведено сечение через ребро основания и середину бокового ребра. Найдите полную поверхность призмы, учитывая, что угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен:

а) $45^\circ$;

б) $30^\circ$ (рис. 123);

в) $60^\circ$;

г) $\alpha$.

Рис. 123

Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$, а длина бокового ребра равна $l$. Основанием призмы является равносторонний треугольник, а боковые грани — прямоугольники. Полная поверхность призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3 \cdot a \cdot l$.

Таким образом, $S_{полн} = 3al + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 3al + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Сечение проведено через ребро основания (пусть это будет ребро $BC$) и середину противолежащего бокового ребра (пусть это будет точка $M$ — середина ребра $AA_1$). Угол между плоскостью сечения $(BCM)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол. Для его измерения построим линейный угол. Проведем высоту и медиану $AK$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Тогда $AK \perp BC$. Так как треугольник $BCM$ равнобедренный ($MB=MC$), его медиана $MK$ также является высотой, то есть $MK \perp BC$. Следовательно, угол $\angle MKA$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Обозначим этот угол как $\gamma$.

Рассмотрим треугольник $MKA$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, $AA_1 \perp AK$. Следовательно, треугольник $MKA$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MAK$.

В этом треугольнике:
- катет $MA$ равен половине бокового ребра: $MA = \frac{l}{2}$.
- катет $AK$ является высотой равностороннего треугольника со стороной $a$: $AK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Соотношение между катетами и углом $\gamma$ в прямоугольном треугольнике $MKA$:
$\tan(\gamma) = \frac{MA}{AK} = \frac{l/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{l}{a\sqrt{3}}$.

Отсюда мы можем выразить сторону основания $a$ через боковое ребро $l$ и угол $\gamma$:
$a = \frac{l}{\sqrt{3}\tan(\gamma)}$.

Теперь решим задачу для каждого из заданных углов.

а) 45°
Если угол $\gamma = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$.
Найдем сторону основания $a$:
$a = \frac{l}{\sqrt{3}\tan(45^\circ)} = \frac{l}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{l}{\sqrt{3}}$.
Теперь вычислим полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 3al + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \left(\frac{l}{\sqrt{3}}\right) \cdot l + \frac{(\frac{l}{\sqrt{3}})^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3l^2}{\sqrt{3}} + \frac{l^2/3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}l^2 + \frac{l^2\sqrt{3}}{6}$.
$S_{полн} = \frac{6\sqrt{3}l^2 + \sqrt{3}l^2}{6} = \frac{7\sqrt{3}l^2}{6}$.
Ответ: $S_{полн} = \frac{7\sqrt{3}}{6}l^2$.

б) 30°
Если угол $\gamma = 30^\circ$, то $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Найдем сторону основания $a$:
$a = \frac{l}{\sqrt{3}\tan(30^\circ)} = \frac{l}{\sqrt{3} \cdot (1/\sqrt{3})} = l$.
Теперь вычислим полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 3al + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot l \cdot l + \frac{l^2\sqrt{3}}{2} = 3l^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}l^2 = \frac{6l^2 + \sqrt{3}l^2}{2} = \frac{l^2(6+\sqrt{3})}{2}$.
Ответ: $S_{полн} = \frac{l^2(6+\sqrt{3})}{2}$.

в) 60°
Если угол $\gamma = 60^\circ$, то $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Найдем сторону основания $a$:
$a = \frac{l}{\sqrt{3}\tan(60^\circ)} = \frac{l}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{l}{3}$.
Теперь вычислим полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 3al + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \left(\frac{l}{3}\right) \cdot l + \frac{(\frac{l}{3})^2\sqrt{3}}{2} = l^2 + \frac{l^2/9 \cdot \sqrt{3}}{2} = l^2 + \frac{l^2\sqrt{3}}{18}$.
$S_{полн} = \frac{18l^2 + \sqrt{3}l^2}{18} = \frac{l^2(18+\sqrt{3})}{18}$.
Ответ: $S_{полн} = \frac{l^2(18+\sqrt{3})}{18}$.

г) $\alpha$
В общем случае, когда угол $\gamma = \alpha$.
Сторона основания $a$ выражается как $a = \frac{l}{\sqrt{3}\tan(\alpha)} = \frac{l\cot(\alpha)}{\sqrt{3}}$.
Подставим это выражение в формулу полной поверхности:
$S_{полн} = 3al + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 3l \left(\frac{l\cot(\alpha)}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\left(\frac{l\cot(\alpha)}{\sqrt{3}}\right)^2\sqrt{3}}{2}$.
$S_{полн} = \frac{3l^2\cot(\alpha)}{\sqrt{3}} + \frac{l^2\cot^2(\alpha)/3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}l^2\cot(\alpha) + \frac{l^2\cot^2(\alpha)\sqrt{3}}{6}$.
$S_{полн} = \frac{6\sqrt{3}l^2\cot(\alpha) + \sqrt{3}l^2\cot^2(\alpha)}{6} = \frac{\sqrt{3}l^2\cot(\alpha)(6+\cot(\alpha))}{6}$.
Ответ: $S_{полн} = \frac{\sqrt{3}l^2\cot(\alpha)(6+\cot(\alpha))}{6}$.