Номер 339, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

339. В прямом параллелепипеде три ребра равны 16 см, 15 см, 20 см, а три угла в гранях — $30^\circ$, $90^\circ$, $90^\circ$. Найдите возможные значения площади полной поверхности параллелепипеда.

По условию, параллелепипед прямой. Это означает, что его боковые грани являются прямоугольниками, а основания — параллелограммами. Все углы в прямоугольниках равны $90^\circ$. Следовательно, из трёх данных углов граней ($30^\circ, 90^\circ, 90^\circ$) угол в $30^\circ$ может быть только углом в основании. Основание — параллелограмм, смежные углы которого в сумме дают $180^\circ$, поэтому его углы равны $30^\circ$ и $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Пусть стороны основания равны $a$ и $b$, а высота (боковое ребро) параллелепипеда равна $c$. Площадь основания (параллелограмма с острым углом $30^\circ$) вычисляется как $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}ab$. Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = P_{осн} \cdot c = 2(a+b)c$. Тогда формула для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) + 2(a+b)c = ab + 2(a+b)c$.

В задаче даны длины трёх рёбер: 16 см, 15 см, 20 см. Так как любое из этих трёх рёбер может быть высотой, рассмотрим все три возможных случая.

Случай 1. Высота $c = 16$ см. Тогда стороны основания $a = 15$ см и $b = 20$ см. Площадь полной поверхности в этом случае:

$S_{1} = 15 \cdot 20 + 2(15 + 20) \cdot 16 = 300 + 2 \cdot 35 \cdot 16 = 300 + 1120 = 1420$ см².

Случай 2. Высота $c = 15$ см. Тогда стороны основания $a = 16$ см и $b = 20$ см. Площадь полной поверхности в этом случае:

$S_{2} = 16 \cdot 20 + 2(16 + 20) \cdot 15 = 320 + 2 \cdot 36 \cdot 15 = 320 + 1080 = 1400$ см².

Случай 3. Высота $c = 20$ см. Тогда стороны основания $a = 16$ см и $b = 15$ см. Площадь полной поверхности в этом случае:

$S_{3} = 16 \cdot 15 + 2(16 + 15) \cdot 20 = 240 + 2 \cdot 31 \cdot 20 = 240 + 1240 = 1480$ см².

Таким образом, возможны три различных значения площади полной поверхности параллелепипеда.

Ответ: 1400 см², 1420 см², 1480 см².