Номер 411, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

411. Высота цилиндра относится к радиусу основания как $m : n$. Найдите отношение периметра осевого сечения цилиндра к диагонали развертки его боковой поверхности.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания.

Согласно условию задачи, отношение высоты к радиусу основания равно $m:n$:$$ \frac{H}{R} = \frac{m}{n} $$Отсюда можно выразить $H$ и $R$ через некоторый коэффициент пропорциональности $k > 0$:$$ H = mk, \quad R = nk $$

1. Найдем периметр осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D = 2R$. Периметр этого прямоугольника $P_{сеч}$ равен:$$ P_{сеч} = 2(H + D) = 2(H + 2R) $$Подставим выражения для $H$ и $R$ через $k$:$$ P_{сеч} = 2(mk + 2nk) = 2k(m + 2n) $$

2. Найдем диагональ развертки боковой поверхности.

Развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра $H$, а другая — длине окружности основания $C = 2\pi R$. Диагональ $d_{разв}$ этого прямоугольника найдем по теореме Пифагора:$$ d_{разв} = \sqrt{H^2 + C^2} = \sqrt{H^2 + (2\pi R)^2} = \sqrt{H^2 + 4\pi^2 R^2} $$Подставим выражения для $H$ и $R$ через $k$:$$ d_{разв} = \sqrt{(mk)^2 + 4\pi^2(nk)^2} = \sqrt{m^2k^2 + 4\pi^2n^2k^2} = \sqrt{k^2(m^2 + 4\pi^2n^2)} = k\sqrt{m^2 + 4\pi^2n^2} $$

3. Найдем искомое отношение.

Найдем отношение периметра осевого сечения к диагонали развертки боковой поверхности:$$ \frac{P_{сеч}}{d_{разв}} = \frac{2k(m + 2n)}{k\sqrt{m^2 + 4\pi^2n^2}} $$Сократив на $k$, получим окончательный результат:$$ \frac{2(m + 2n)}{\sqrt{m^2 + 4\pi^2n^2}} $$

Ответ: $\frac{2(m + 2n)}{\sqrt{m^2 + 4\pi^2n^2}}$