Номер 407, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

407. Радиус основания цилиндра равен 41 см, образующая — 39 см. Концы отрезка длиной 89 см лежат на окружностях обоих оснований цилиндра (рис. 138). Найдите расстояние между этим отрезком и осью цилиндра.

Рис. 138

Решение:

Обозначим данные: радиус основания цилиндра $R = 41$ см, образующая (которая равна высоте) $H = 39$ см, длина отрезка $L = 89$ см. Пусть ось цилиндра проходит через центры оснований $O_1$ (верхнее) и $O_2$ (нижнее). Пусть концы отрезка, точки $A$ и $B$, лежат на окружностях верхнего и нижнего оснований соответственно.

Требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми: отрезком $AB$ и осью цилиндра $O_1O_2$. Это расстояние равно длине их общего перпендикуляра.

1. Спроектируем отрезок $AB$ на плоскость нижнего основания. Пусть точка $A_2$ является проекцией точки $A$ на плоскость нижнего основания. Тогда отрезок $AA_2$ является образующей цилиндра, и его длина равна высоте $H$. Треугольник $ABA_2$ является прямоугольным, так как $AA_2$ перпендикулярен плоскости нижнего основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, включая $A_2B$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABA_2$ гипотенуза $AB = L = 89$ см, а катет $AA_2 = H = 39$ см. Найдем длину второго катета $A_2B$, который является проекцией отрезка $AB$ на нижнее основание, по теореме Пифагора:
$A_2B^2 = AB^2 - AA_2^2 = L^2 - H^2$
$A_2B^2 = 89^2 - 39^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$A_2B^2 = (89 - 39)(89 + 39) = 50 \cdot 128 = 6400$
$A_2B = \sqrt{6400} = 80$ см.

3. Отрезок $A_2B$ является хордой в окружности нижнего основания. Расстояние от оси цилиндра $O_1O_2$ до отрезка $AB$ равно расстоянию от центра нижнего основания $O_2$ до хорды $A_2B$. Обозначим это искомое расстояние как $d$.

4. Рассмотрим треугольник $O_2A_2B$, образованный центром окружности и концами хорды. Этот треугольник равнобедренный, так как $O_2A_2 = O_2B = R = 41$ см (радиусы основания). Расстояние $d$ от точки $O_2$ до хорды $A_2B$ является высотой, проведенной к основанию этого треугольника. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому она делит хорду $A_2B$ пополам.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $O_2B$, расстоянием $d$ и половиной хорды $A_2B$. Длина половины хорды составляет:
$\frac{A_2B}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

По теореме Пифагора найдем $d$:
$d^2 + \left(\frac{A_2B}{2}\right)^2 = R^2$
$d^2 = R^2 - \left(\frac{A_2B}{2}\right)^2 = 41^2 - 40^2$
Снова используем формулу разности квадратов:
$d^2 = (41 - 40)(41 + 40) = 1 \cdot 81 = 81$
$d = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.