Номер 400, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

400. На плоскости $\alpha$ выбрана прямая $l$. Определите, где расположены оси цилиндров, которых плоскость $\alpha$ касается по прямой $l$.

Пусть произвольный цилиндр с осью $a$ и радиусом $r > 0$ касается плоскости $\alpha$ по прямой $l$, лежащей в этой плоскости. Прямая $l$, по которой происходит касание, является образующей цилиндра. Поскольку все образующие цилиндра параллельны его оси, то ось $a$ должна быть параллельна прямой $l$.

Проведем через произвольную точку $L$ на прямой $l$ плоскость $\beta$, перпендикулярную прямой $l$ (и, следовательно, оси $a$). В сечении этой плоскостью цилиндр представляет собой окружность радиуса $r$, плоскость $\alpha$ – прямую $m$, а ось $a$ – точку $A$, которая является центром этой окружности. Так как цилиндр касается плоскости $\alpha$ по прямой $l$, то в рассматриваемом сечении прямая $m$ будет касаться окружности в точке $L$.

Из свойств касательной к окружности известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $AL$ перпендикулярен прямой $m$ ($AL \perp m$). По построению плоскости $\beta$, прямая $l$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая $AL$ ($l \perp AL$). Таким образом, отрезок $AL$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($l$ и $m$) в плоскости $\alpha$, а значит, перпендикулярен и самой плоскости $\alpha$.

Рассмотрим плоскость $\Pi$, в которой лежат параллельные прямые $a$ и $l$. Поскольку эта плоскость содержит прямую $AL$, которая перпендикулярна плоскости $\alpha$, то и сама плоскость $\Pi$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Для заданных плоскости $\alpha$ и прямой $l$ в ней такая плоскость $\Pi$ единственна.

Таким образом, ось $a$ любого цилиндра, удовлетворяющего условию, должна лежать в плоскости $\Pi$ (плоскости, проходящей через $l$ и перпендикулярной $\alpha$) и быть параллельной прямой $l$. Радиус цилиндра $r$ равен расстоянию между параллельными прямыми $a$ и $l$. Так как радиус должен быть положительным ($r > 0$), ось $a$ не может совпадать с прямой $l$.

Следовательно, искомое геометрическое место осей – это множество всех прямых в плоскости $\Pi$, параллельных $l$, кроме самой прямой $l$. Это множество и есть плоскость $\Pi$, из которой удалена прямая $l$.

Ответ: Искомым геометрическим местом осей является плоскость, проходящая через прямую $l$ и перпендикулярная плоскости $\alpha$, за исключением самой прямой $l$.