Номер 394, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

394. Найдите сумму квадратов расстояний между вершинами параллелепипеда с измерениями $a, b, c$.

Поскольку в задаче даны «измерения» $a, b, c$, будем считать, что речь идет о прямоугольном параллелепипеде, у которого длины ребер, выходящих из одной вершины, равны $a, b$ и $c$. У параллелепипеда 8 вершин. Требуется найти сумму квадратов расстояний между всеми возможными парами вершин.

Общее число пар вершин равно $C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$. Таким образом, нам нужно найти сумму квадратов длин 28 отрезков, соединяющих все пары вершин. Эти отрезки можно удобно сгруппировать по их типу: ребра, диагонали граней и пространственные диагонали.

1. Сумма квадратов длин ребер

Параллелепипед имеет 12 ребер. Они делятся на три группы по четыре параллельных и равных ребра в каждой:

• 4 ребра длиной $a$. Сумма квадратов их длин: $4a^2$.
• 4 ребра длиной $b$. Сумма квадратов их длин: $4b^2$.
• 4 ребра длиной $c$. Сумма квадратов их длин: $4c^2$.

Общая сумма квадратов длин всех ребер: $S_1 = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.

2. Сумма квадратов длин диагоналей граней

Параллелепипед имеет 6 граней, и каждая грань (являющаяся прямоугольником) имеет 2 диагонали. Всего 12 диагоналей граней.

• Две грани со сторонами $a$ и $b$. Квадрат длины диагонали по теореме Пифагора равен $a^2 + b^2$. Таких диагоналей 4 (по две на каждой из двух граней). Сумма квадратов их длин: $4(a^2 + b^2)$.
• Две грани со сторонами $a$ и $c$. Квадрат длины диагонали равен $a^2 + c^2$. Таких диагоналей 4. Сумма квадратов их длин: $4(a^2 + c^2)$.
• Две грани со сторонами $b$ и $c$. Квадрат длины диагонали равен $b^2 + c^2$. Таких диагоналей 4. Сумма квадратов их длин: $4(b^2 + c^2)$.

Общая сумма квадратов длин всех диагоналей граней: $S_2 = 4(a^2 + b^2) + 4(a^2 + c^2) + 4(b^2 + c^2) = 8a^2 + 8b^2 + 8c^2$.

3. Сумма квадратов длин пространственных диагоналей

Параллелепипед имеет 4 пространственные диагонали, соединяющие противоположные вершины. Квадрат длины каждой такой диагонали равен $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Сумма квадратов длин всех четырех пространственных диагоналей: $S_3 = 4(a^2 + b^2 + c^2) = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2$.

Общая сумма

Искомая сумма квадратов расстояний между всеми вершинами является суммой $S_1$, $S_2$ и $S_3$.
$S = S_1 + S_2 + S_3 = (4a^2 + 4b^2 + 4c^2) + (8a^2 + 8b^2 + 8c^2) + (4a^2 + 4b^2 + 4c^2)$
$S = (4+8+4)a^2 + (4+8+4)b^2 + (4+8+4)c^2$
$S = 16a^2 + 16b^2 + 16c^2 = 16(a^2 + b^2 + c^2)$.

Ответ: $16(a^2 + b^2 + c^2)$.