Номер 389, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

389. В основании параллелепипеда лежит ромб со стороной $a$ и острым углом $30^\circ$. Плоскость основания образует с боковым ребром угол $60^\circ$, а с диагональю боковой грани — $90^\circ$. Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда.

Обозначим параллелепипед $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — ромб в основании. По условию, сторона ромба равна $a$, а острый угол $\angle BAD = 30^\circ$.

Пусть боковое ребро — $AA'$. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $60^\circ$.

Диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол $90^\circ$, то есть она перпендикулярна основанию. Пусть это будет диагональ $A'D$ боковой грани $ADD'A'$. Тогда $A'D$ является высотой параллелепипеда, $H = |A'D|$.

Поскольку $A'D$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $A'D \perp AD$. Следовательно, боковая грань $ADD'A'$ является прямоугольником.

Проекцией бокового ребра $A'A$ на плоскость основания является сторона ромба $AD$. Угол между наклонной $A'A$ и ее проекцией $AD$ — это $\angle A'AD$, который по условию равен $60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A'DA$ (с прямым углом $\angle D$):

• Катет $AD = a$.
• $\angle A'AD = 60^\circ$.

Найдем длину бокового ребра $l = |AA'|$ и высоту параллелепипеда $H = |A'D|$:

$l = |AA'| = \frac{AD}{\cos(60^\circ)} = \frac{a}{1/2} = 2a$.

$H = |A'D| = AD \cdot \tan(60^\circ) = a\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти объем и площадь полной поверхности.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.

Площадь основания (ромба) $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = a^2 \sin(\angle BAD) = a^2 \sin(30^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Теперь вычислим объем:

$V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2}{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности вычисляется по формуле $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ состоит из площадей четырех боковых граней: $S_{бок} = 2 \cdot S_{ADD'A'} + 2 \cdot S_{ABB'A'}$.

1. Грань $ADD'A'$ является прямоугольником со сторонами $AD=a$ и $A'D=a\sqrt{3}$. Ее площадь:

$S_{ADD'A'} = |AD| \cdot |A'D| = a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$.

2. Грань $ABB'A'$ является параллелограммом со сторонами $AB=a$ и $AA'=2a$. Для нахождения ее площади найдем высоту, проведенную из вершины $A'$ к стороне $AB$.

Проведем в плоскости основания перпендикуляр $DK$ из точки $D$ к прямой $AB$. В $\triangle ADK$, $\angle DAK = 30^\circ$, поэтому $|DK| = |AD| \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2}$.

Так как $A'D \perp (ABC)$ и $DK \perp AB$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $A'K$ перпендикулярна $AB$. Таким образом, $A'K$ является высотой боковой грани $ABB'A'$.

Найдем длину $A'K$ из прямоугольного треугольника $\triangle A'DK$:

$|A'K| = \sqrt{|A'D|^2 + |DK|^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{3a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{12a^2+a^2}{4}} = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}$.

Площадь грани $ABB'A'$:

$S_{ABB'A'} = |AB| \cdot |A'K| = a \cdot \frac{a\sqrt{13}}{2} = \frac{a^2\sqrt{13}}{2}$.

3. Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{ADD'A'} + 2 \cdot S_{ABB'A'} = 2 \cdot a^2\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{13}}{2} = 2a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{13}$.

4. И, наконец, площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{a^2}{2} + 2a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{13} = a^2 + 2a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{13} = a^2(1 + 2\sqrt{3} + \sqrt{13})$.

Ответ: $S_{полн} = a^2(1 + 2\sqrt{3} + \sqrt{13})$.