Номер 395, страница 61 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

395. На векторах $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ как на ребрах построен параллелепипед, объем которого равен $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$. Докажите, что $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = |\vec{N} \cdot \vec{c}|$, где вектор $\vec{N}$ перпендикулярен векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Объем параллелепипеда $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$ можно вычислить по формуле: "площадь основания, умноженная на высоту".

1. Основание и его площадь.

Выберем в качестве основания параллелограмм, построенный на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Площадь этого основания, обозначим ее $S_{\text{осн}}$, по определению равна модулю векторного произведения этих векторов:

$S_{\text{осн}} = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Согласно условию задачи, длина вектора $\vec{N}$ равна площади этого параллелограмма. Таким образом, мы имеем:

$|\vec{N}| = S_{\text{осн}}$

2. Высота.

Высота параллелепипеда $h$ — это длина перпендикуляра, проведенного от третьего ребра (вектора $\vec{c}$) к плоскости основания. Геометрически, это модуль проекции вектора $\vec{c}$ на направление, перпендикулярное основанию.

В условии сказано, что вектор $\vec{N}$ перпендикулярен векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это означает, что вектор $\vec{N}$ является вектором нормали к плоскости основания. Следовательно, высота $h$ равна модулю скалярной проекции вектора $\vec{c}$ на вектор $\vec{N}$:

$h = |\text{пр}_{\vec{N}} \vec{c}|$

Скалярная проекция вектора на другой вектор вычисляется по формуле:

$\text{пр}_{\vec{N}} \vec{c} = \frac{\vec{N} \cdot \vec{c}}{|\vec{N}|}$

Тогда высота равна:

$h = \left| \frac{\vec{N} \cdot \vec{c}}{|\vec{N}|} \right| = \frac{|\vec{N} \cdot \vec{c}|}{|\vec{N}|}$

3. Объем.

Теперь подставим найденные выражения для площади основания $S_{\text{осн}}$ и высоты $h$ в формулу для объема:

$V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = S_{\text{осн}} \cdot h = |\vec{N}| \cdot \frac{|\vec{N} \cdot \vec{c}|}{|\vec{N}|}$

Сократив $|\vec{N}|$ в числителе и знаменателе, получаем требуемое равенство:

$V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = |\vec{N} \cdot \vec{c}|$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что объем параллелепипеда $V(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = |\vec{N} \cdot \vec{c}|$, где вектор $\vec{N}$ перпендикулярен векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а его длина равна площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$.