Номер 432, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

432. Шесть вершин куба с ребром $a$ расположены на цилиндре, ось которого — диагональ куба (рис. 144). Найдите:

а) радиус цилиндра;

б) полную поверхность цилиндра;

в) объем цилиндра.

Рис. 144

а) радиус цилиндра;

Осью цилиндра является диагональ куба. Шесть вершин куба, не лежащих на этой диагонали, расположены на боковой поверхности цилиндра. Радиус цилиндра $R$ равен расстоянию от любой из этих шести вершин до диагонали куба.

Введем систему координат, поместив одну из вершин куба $A$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Ребра куба направим вдоль осей координат. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (a, 0, 0)$
• $D = (0, a, 0)$
• $A_1 = (0, 0, a)$
• $C_1 = (a, a, a)$

Пусть ось цилиндра проходит через диагональ $AC_1$. Вектор, задающий эту диагональ, — это $\vec{AC_1} = (a, a, a)$. Длина этого вектора (длина диагонали куба) равна $|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.

Найдем расстояние (радиус $R$) от одной из шести вершин, например, от вершины $B(a, 0, 0)$, до прямой $AC_1$. Расстояние от точки до прямой, заданной вектором $\vec{s}$ и проходящей через точку $A$, вычисляется по формуле:

$R = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC_1}|}{|\vec{AC_1}|}$

Найдем векторное произведение:

$\vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = (0, -a^2, a^2)$

Модуль этого вектора равен:

$|\vec{AB} \times \vec{AC_1}| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2}$

Теперь можем найти радиус:

$R = \frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $R = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

б) полную поверхность цилиндра;

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 2\pi R H + 2\pi R^2$, где $R$ - радиус, а $H$ - высота цилиндра.

Высота цилиндра $H$ равна расстоянию между плоскостями, в которых лежат две тройки вершин. Эти плоскости перпендикулярны диагонали куба. Известно, что эти плоскости делят большую диагональ куба на три равные части. Длина диагонали куба равна $d = a\sqrt{3}$.

Следовательно, высота цилиндра равна одной трети длины диагонали:

$H = \frac{1}{3} d = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Теперь найдем площадь боковой поверхности и площадь оснований.

Площадь одного основания:

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 6}{9} = \frac{2\pi a^2}{3}$

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi a^2 \sqrt{18}}{9} = \frac{2\pi a^2 \cdot 3\sqrt{2}}{9} = \frac{2\pi a^2 \sqrt{2}}{3}$

Полная поверхность цилиндра:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = \frac{2\pi a^2 \sqrt{2}}{3} + 2 \cdot \frac{2\pi a^2}{3} = \frac{2\pi a^2 \sqrt{2} + 4\pi a^2}{3} = \frac{2\pi a^2(2 + \sqrt{2})}{3}$

Ответ: $S_{полн} = \frac{2\pi a^2(2 + \sqrt{2})}{3}$

в) объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi R^2 H$.

Используем найденные ранее значения для радиуса $R$ и высоты $H$:

$R = \frac{a\sqrt{6}}{3}$, $H = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$V = \pi \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) = \pi \left(\frac{6a^2}{9}\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) = \left(\frac{2\pi a^2}{3}\right) \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi a^3 \sqrt{3}}{9}$

Ответ: $V = \frac{2\pi a^3 \sqrt{3}}{9}$