Номер 469, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

469. Три последовательных угла в основании четырехугольной пирамиды относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите плоские углы основания, учитывая, что боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $ABCD$ — четырехугольник в ее основании. Пусть $SO$ — высота пирамиды, опущенная на плоскость основания ($O$ — проекция точки $S$ на плоскость $ABCD$).

Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между этим ребром и его проекцией на плоскость (отрезком $OA$). Таким образом, это угол $∠SAO$.

По условию, все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. Это означает, что $∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = ∠SDO$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$. У них общий катет $SO$ (высота пирамиды) и равные острые углы при основании. Следовательно, эти треугольники равны по катету и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их вторых катетов: $OA = OB = OC = OD$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин четырехугольника $ABCD$. Следовательно, точка $O$ является центром окружности, описанной около четырехугольника $ABCD$.

Таким образом, четырехугольник в основании пирамиды является вписанным в окружность. Основное свойство вписанного четырехугольника — сумма его противоположных углов равна $180°$. То есть:

$∠A + ∠C = 180°$

$∠B + ∠D = 180°$

По условию, три последовательных угла основания, пусть это будут $∠A, ∠B$ и $∠C$, относятся как $2:3:4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда:

$∠A = 2x$

$∠B = 3x$

$∠C = 4x$

Используем свойство суммы противоположных углов для $∠A$ и $∠C$:

$2x + 4x = 180°$

$6x = 180°$

$x = \frac{180°}{6} = 30°$

Теперь найдем величины углов $A, B$ и $C$:

$∠A = 2 \cdot 30° = 60°$

$∠B = 3 \cdot 30° = 90°$

$∠C = 4 \cdot 30° = 120°$

Для нахождения четвертого угла $∠D$ воспользуемся свойством суммы противоположных углов для $∠B$ и $∠D$:

$∠D = 180° - ∠B = 180° - 90° = 90°$

Проверим: сумма всех углов четырехугольника $60° + 90° + 120° + 90° = 360°$. Условие выполняется.

Ответ: Плоские углы основания равны $60°, 90°, 120°, 90°$.