Номер 474, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

474. Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, перпендикулярной медиане основания и разделяющей ее в отношении 1 : 3, учитывая, что параллельное ему сечение, проходящее через вершину пирамиды, имеет площадь $S$ (рис. 159).

Рис. 159

Пусть дана правильная треугольная пирамида P-ABC с основанием ABC. Пусть M — середина стороны BC, тогда AM — медиана основания. Пусть O — центр основания (точка пересечения медиан), PO — высота пирамиды, равная $H$. Пусть сторона основания равна $a$, а длина медианы AM равна $m$.

Введем систему координат. Пусть точка M совпадает с началом координат (0,0,0), а медиана AM лежит на оси Ox. Тогда вершина A имеет координаты $(m, 0, 0)$. Так как треугольник ABC равносторонний, то $AM \perp BC$, и мы можем разместить вершины B и C симметрично относительно оси Ox в плоскости Oxy: $B=(0, -a/2, 0)$ и $C=(0, a/2, 0)$. Вершина пирамиды P проецируется в центр основания O, который делит медиану AM в отношении $AO:OM = 2:1$. Координаты точки O: $(m/3, 0, 0)$. Тогда координаты вершины P: $(m/3, 0, H)$.

Секущая плоскость перпендикулярна медиане AM (оси Ox), следовательно, ее уравнение имеет вид $x=k$ для некоторой константы $k$.

По условию, сечение, параллельное искомому и проходящее через вершину P, имеет площадь S. Так как $x_P = m/3$, то это сечение задается плоскостью $\alpha: x = m/3$. Найдем его площадь. Эта плоскость проходит через вершину P и пересекает ребра основания AB и AC. Точки пересечения D и E лежат на прямой $x=m/3$ в плоскости основания $z=0$. Эта прямая проходит через точку O и параллельна стороне BC. Треугольник ADE подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия равен отношению высот $AO$ к $AM$, то есть $\frac{AO}{AM} = \frac{2/3 m}{m} = \frac{2}{3}$. Следовательно, длина отрезка $DE = \frac{2}{3} BC = \frac{2a}{3}$. Сечением является треугольник PDE, его основание DE, а высота равна высоте пирамиды $H$. Площадь этого сечения равна $S = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot H = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot H = \frac{aH}{3}$. Отсюда получаем полезное соотношение $aH = 3S$.

Искомое сечение создается плоскостью $\beta$, которая также имеет уравнение $x=k$ и делит медиану AM в отношении 1:3. Медиана AM соответствует отрезку $[0, m]$ на оси Ox. Рассмотрим два возможных случая расположения точки деления.

Случай 1. Точка деления K на медиане AM такова, что MK : KA = 1 : 3.

В этом случае координата точки K на оси Ox равна $k = \frac{1}{4}m$. Так как $k = m/4 < m/3$, секущая плоскость $\beta: x=m/4$ находится между точкой M и плоскостью $\alpha$. Она пересекает ребра основания AB и AC, а также боковые ребра PB и PC. В сечении получается трапеция. Найдем ее размеры.

Нижнее основание трапеции лежит в плоскости основания пирамиды ($z=0$) и является отрезком прямой $x=m/4$. Его длина, по соображениям подобия, равна $a \cdot \frac{AK}{AM} = a \cdot \frac{m - m/4}{m} = a \cdot \frac{3}{4} = \frac{3a}{4}$.

Верхнее основание трапеции лежит на боковых ребрах PB и PC на некоторой высоте. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и вершину P. Это равнобедренный треугольник PBC. Секущая плоскость $x=m/4$ пересекает его по отрезку, параллельному BC. Расстояние от точки M до плоскости сечения равно $k = m/4$. Расстояние от M до плоскости, содержащей P, равно $m/3$. По теореме о пропорциональных отрезках (или подобии), длина верхнего основания трапеции будет равна $a \cdot \frac{OM - MK}{OM} = a \cdot \frac{m/3 - m/4}{m/3} = a \cdot \frac{m/12}{m/3} = a \cdot \frac{3}{12} = \frac{a}{4}$.

Высота трапеции — это высота, на которой находится ее верхнее основание. Из подобия треугольников (например, в плоскости PAM) высота сечения над основанием пирамиды равна $H \cdot \frac{MK}{MO} = H \cdot \frac{m/4}{m/3} = \frac{3H}{4}$.

Площадь трапеции (искомого сечения) равна произведению полусуммы оснований на высоту:$S_1 = \frac{1}{2} \left(\frac{3a}{4} + \frac{a}{4}\right) \cdot \frac{3H}{4} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{3H}{4} = \frac{3aH}{8}$.

Подставляя ранее найденное соотношение $aH = 3S$, получаем:$S_1 = \frac{3 \cdot (3S)}{8} = \frac{9S}{8}$.

Ответ: $\frac{9S}{8}$.

Случай 2. Точка деления K на медиане AM такова, что AK : KM = 1 : 3.

В этом случае точка K находится на расстоянии $\frac{1}{4}m$ от вершины A. Ее координата на оси Ox равна $k = m - \frac{1}{4}m = \frac{3m}{4}$. Так как $k = 3m/4 > m/3$, секущая плоскость $\beta: x=3m/4$ находится между плоскостью $\alpha$ и вершиной A. Она пересекает боковое ребро PA и ребра основания AB и AC. В сечении получается треугольник.

Основание этого треугольника лежит в плоскости основания пирамиды ($z=0$) и является отрезком прямой $x=3m/4$. Его длина, по соображениям подобия (рассматривая треугольник ABC и вершину A), равна $a \cdot \frac{AK'}{AM} = a \cdot \frac{m-k}{m} = a \cdot \frac{m-3m/4}{m} = a \cdot \frac{m/4}{m} = \frac{a}{4}$. (Здесь K' - проекция K на AM, что и есть K).

Высота этого треугольника — это расстояние по вертикали от его вершины (на ребре PA) до основания. Найдем эту высоту из подобия. Секущая плоскость отсекает от пирамиды меньшую пирамиду с вершиной A. Высота сечения будет пропорциональна расстоянию от A. Расстояние от точки A до секущей плоскости равно $m - k = m/4$. Расстояние от A до плоскости $\alpha$ равно $m - m/3 = 2m/3$. Высота сечения S (треугольника PDE) равна $H$. Тогда высота искомого треугольного сечения $H'$ относится к $H$ так же, как относятся расстояния от A до соответствующих плоскостей:$\frac{H'}{H} = \frac{m-k}{m-m/3} = \frac{m/4}{2m/3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$. Итак, $H' = \frac{3H}{8}$.

Площадь треугольника (искомого сечения) равна:$S_2 = \frac{1}{2} \cdot (\text{основание}) \cdot (\text{высота}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{3H}{8} = \frac{3aH}{64}$.

Подставляя $aH = 3S$, получаем:$S_2 = \frac{3 \cdot (3S)}{64} = \frac{9S}{64}$.

Ответ: $\frac{9S}{64}$.