Номер 480, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

480. Найдите объем треугольной пирамиды, боковые ребра которой попарно перпендикулярны и равны 10 см, 12 см и 15 см.

Пусть дана треугольная пирамида, у которой боковые ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Обозначим эту вершину как S, а вершины основания как A, B и C. Таким образом, у нас есть пирамида SABC с боковыми ребрами SA, SB и SC.

По условию задачи, эти ребра попарно перпендикулярны: $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SC \perp SA$. Их длины равны 10 см, 12 см и 15 см. Пусть $|SA| = 10$ см, $|SB| = 12$ см и $|SC| = 15$ см.

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды мы можем выбрать любую из ее граней. Удобно выбрать одну из боковых граней, образованных перпендикулярными ребрами, например, грань ASB.

Поскольку ребра SA и SB перпендикулярны, треугольник ASB является прямоугольным, а ребра SA и SB — его катетами. Площадь этого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{осн} = S_{\triangle ASB} = \frac{1}{2} \cdot |SA| \cdot |SB|$

Если в качестве основания выбрана грань ASB, то высотой пирамиды будет ребро SC. Это следует из того, что ребро SC перпендикулярно двум пересекающимся прямым (SA и SB), лежащим в плоскости основания. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро SC перпендикулярно всей плоскости ASB. Таким образом, длина высоты $H$ равна длине ребра SC:$H = |SC|$

Теперь мы можем подставить выражения для площади основания и высоты в общую формулу объема пирамиды:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot |SA| \cdot |SB|) \cdot |SC| = \frac{1}{6} \cdot |SA| \cdot |SB| \cdot |SC|$

Подставим в полученную формулу числовые значения длин ребер:$V = \frac{1}{6} \cdot 10 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = \frac{1}{6} \cdot 1800 \text{ см}^3 = 300 \text{ см}^3$

Ответ: 300 см³.