Номер 584, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

584*. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, высота — 3 см. Найдите поверхность сферы, касающейся:

а) всех ребер пирамиды;

б) ребер основания и продолжений боковых ребер пирамиды;

в) плоскости основания и боковых ребер пирамиды;

г) плоскости основания и продолжений боковых ребер пирамиды.

Для решения задачи сначала найдем ключевые параметры правильной шестиугольной пирамиды. Пусть сторона основания $a = 4$ см, а высота пирамиды $H = 3$ см.

1. Основание — правильный шестиугольник. Радиус описанной окружности основания $R_b$ равен стороне шестиугольника: $R_b = a = 4$ см. Это расстояние от центра основания $O$ до любой вершины основания.

2. Длина бокового ребра $l$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $R_b$ и боковым ребром $l$. По теореме Пифагора: $l = \sqrt{H^2 + R_b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

3. Апофема основания (радиус вписанной окружности) $r_b$: $r_b = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Центр любой сферы, удовлетворяющей условиям задачи, будет лежать на оси симметрии пирамиды, то есть на ее высоте. Введем систему координат с началом в центре основания $O$, ось $Oz$ направим вдоль высоты. Тогда вершина пирамиды $S$ имеет координаты $(0, 0, 3)$. Центр сферы $O_s$ будет иметь координаты $(0, 0, z)$, а ее радиус обозначим $R$.

а) всех ребер пирамиды;

Сфера касается всех ребер, значит, расстояние от ее центра $O_s$ до любого ребра основания и до любого бокового ребра равно радиусу $R$.

1. Расстояние от центра сферы $O_s(0, 0, z)$ до ребра основания. Ребра основания лежат в плоскости $z=0$. Расстояние от $O_s$ до прямой, содержащей ребро основания, равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $r_b$ и $|z|$. $R^2 = r_b^2 + z^2 = (2\sqrt{3})^2 + z^2 = 12 + z^2$.

2. Расстояние от центра сферы $O_s(0, 0, z)$ до бокового ребра. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и боковое ребро $SA$. Это прямоугольный треугольник $SOA$ с катетами $SO=3$ и $OA=4$, и гипотенузой $SA=5$. Точка $O_s$ лежит на катете $SO$. Расстояние от $O_s$ до гипотенузы $SA$ равно $R$. Из подобия треугольников (опуская перпендикуляр из $O_s$ на $SA$) получаем соотношение: $\frac{R}{OA} = \frac{|SO - z|}{SA} \implies \frac{R}{4} = \frac{|3 - z|}{5}$.

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} R^2 = 12 + z^2 \\ 5R = 4|3 - z| \end{cases}$

Возведем второе уравнение в квадрат: $25R^2 = 16(3-z)^2$. Подставим $R^2$ из первого: $25(12 + z^2) = 16(9 - 6z + z^2)$ $300 + 25z^2 = 144 - 96z + 16z^2$ $9z^2 + 96z + 156 = 0$ Делим на 3: $3z^2 + 32z + 52 = 0$ Дискриминант $D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 - 624 = 400 = 20^2$. $z_{1,2} = \frac{-32 \pm 20}{6}$ $z_1 = \frac{-12}{6} = -2$ $z_2 = \frac{-52}{6} = -\frac{26}{3}$

Условие касания именно ребра, а не его продолжения, означает, что точка касания должна лежать на отрезке бокового ребра. Это выполняется при $-16/3 \le z \le 3$. $z_1 = -2$ удовлетворяет этому условию ($-5.33 \le -2 \le 3$). $z_2 = -26/3 \approx -8.67$ не удовлетворяет. Следовательно, подходит только $z = -2$. Найдем радиус: $R^2 = 12 + (-2)^2 = 12 + 4 = 16 \implies R = 4$ см. Площадь поверхности сферы: $S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi (4^2) = 64\pi$ см$^2$.

Ответ: $64\pi$ см$^2$.

б) ребер основания и продолжений боковых ребер пирамиды;

Условия и уравнения те же, что и в пункте а). Однако теперь точка касания должна лежать на продолжении бокового ребра. Это соответствует значению $z$, которое не входит в отрезок $[-16/3, 3]$.

Из двух найденных решений $z_1 = -2$ и $z_2 = -26/3$, мы выбираем второе: $z = -26/3$. Найдем радиус для этого значения $z$: $R^2 = 12 + z^2 = 12 + (-\frac{26}{3})^2 = 12 + \frac{676}{9} = \frac{108 + 676}{9} = \frac{784}{9}$. $R = \sqrt{\frac{784}{9}} = \frac{28}{3}$ см. Площадь поверхности сферы: $S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi (\frac{28}{3})^2 = 4\pi \frac{784}{9} = \frac{3136\pi}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{3136\pi}{9}$ см$^2$.

в) плоскости основания и боковых ребер пирамиды;

Сфера касается плоскости основания и боковых ребер.

1. Касание плоскости основания ($z=0$) означает, что расстояние от центра $O_s(0, 0, z)$ до этой плоскости равно радиусу: $R = |z|$.

2. Расстояние до бокового ребра, как и ранее, определяется соотношением $\frac{R}{4} = \frac{|3 - z|}{5}$.

Подставляем $R = |z|$ во второе уравнение: $5|z| = 4|3 - z|$. Возведем обе части в квадрат: $25z^2 = 16(3 - z)^2$ $25z^2 = 16(9 - 6z + z^2)$ $25z^2 = 144 - 96z + 16z^2$ $9z^2 + 96z - 144 = 0$ Делим на 3: $3z^2 + 32z - 48 = 0$ Дискриминант $D = 32^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 1024 + 576 = 1600 = 40^2$. $z_{1,2} = \frac{-32 \pm 40}{6}$ $z_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ $z_2 = \frac{-72}{6} = -12$

Условие касания именно боковых ребер (а не их продолжений) требует, чтобы $z$ находилось в диапазоне $[-16/3, 3]$. $z_1 = 4/3$ удовлетворяет этому условию. $z_2 = -12$ не удовлетворяет. Следовательно, подходит $z = 4/3$. Радиус сферы $R = |z| = 4/3$ см. Площадь поверхности сферы: $S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi (\frac{4}{3})^2 = 4\pi \frac{16}{9} = \frac{64\pi}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{64\pi}{9}$ см$^2$.

г) плоскости основания и продолжений боковых ребер пирамиды.

Условия и уравнения те же, что и в пункте в). Однако теперь точка касания должна лежать на продолжении бокового ребра. Это соответствует значению $z$, которое не входит в отрезок $[-16/3, 3]$.

Из двух найденных решений $z_1 = 4/3$ и $z_2 = -12$, мы выбираем второе: $z = -12$. Радиус сферы $R = |z| = |-12| = 12$ см. Площадь поверхности сферы: $S_{сф} = 4\pi R^2 = 4\pi (12^2) = 4\pi \cdot 144 = 576\pi$ см$^2$.

Ответ: $576\pi$ см$^2$.