Номер 589, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

589. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную пирамиду, у которой высота равна $h$, а двугранный угол при основании равен $60^\circ$ (рис. 199).

Рис. 199

Пусть $S$ — вершина правильной пирамиды, а $O$ — центр её основания. Тогда $SO$ — высота пирамиды, и по условию $SO = h$. Пусть $I$ — центр вписанной в пирамиду сферы, а $r$ — её радиус. Так как пирамида правильная, центр вписанной сферы лежит на её высоте, то есть точка $I$ лежит на отрезке $SO$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему $SM$ одной из боковых граней (где $M$ — середина ребра основания). Это сечение является прямоугольным треугольником $\triangle SOM$, в котором $\angle SOM = 90^\circ$. В этом треугольнике катет $SO$ равен высоте пирамиды $h$, а угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла при основании, то есть $\angle SMO = 60^\circ$.

Центр вписанной сферы $I$ равноудалён от плоскости основания и от плоскости боковой грани. Расстояние от $I$ до плоскости основания равно $r$ (то есть $IO=r$), и расстояние от $I$ до плоскости боковой грани (прямой $SM$ в нашем сечении) также равно $r$. Опустим перпендикуляр $IP$ из точки $I$ на апофему $SM$. Тогда $IP = r$.

Длину отрезка $SI$ можно выразить через высоту $h$ и радиус $r$: $SI = SO - IO = h - r$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$ найдём угол $\angle OSM$:
$ \angle OSM = 90^\circ - \angle SMO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SPI$ ($\angle SPI = 90^\circ$). В нём нам известны: гипотенуза $SI = h - r$, катет $IP = r$ (противолежащий углу $\angle PSI$) и угол $\angle PSI$, который равен углу $\angle OSM$, то есть $\angle PSI = 30^\circ$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:$ \sin(\angle PSI) = \frac{IP}{SI} $

Подставим известные величины:$ \sin(30^\circ) = \frac{r}{h - r} $

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получим уравнение:$ \frac{1}{2} = \frac{r}{h - r} $

Решим это уравнение относительно $r$:
$ h - r = 2r $
$ h = 3r $
$ r = \frac{h}{3} $

Ответ: $ \frac{h}{3} $