Номер 77, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

77*.В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны единице. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC$;

б) $AA_1$ и $BC_1$;

в) $AC_1$ и $B_1C$.

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной 1, а боковые грани $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$ являются квадратами со стороной 1.

а) AA₁ и BC

Прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из них и прямой, параллельной второй и пересекающей первую.
Боковое ребро $AA_1$ в правильной призме перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Прямая $BC$ лежит в плоскости основания $ABC$.
По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$, в том числе и прямой $BC$.
Следовательно, угол между прямыми $AA_1$ и $BC$ равен $90^\circ$.
Другой способ: заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $BB_1$. Тогда искомый угол равен углу между прямыми $BB_1$ и $BC$. Эти прямые пересекаются в точке $B$ и являются смежными сторонами боковой грани $BCC_1B_1$, которая по условию является квадратом. Угол между сторонами квадрата равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) AA₁ и BC₁

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Заменим прямую $AA_1$ на параллельную ей прямую $CC_1$. Искомый угол будет равен углу между прямыми $CC_1$ и $BC_1$.
Эти прямые пересекаются в точке $C_1$ и образуют угол $\angle BCC_1$.
Рассмотрим треугольник $BCC_1$. Так как грань $BCC_1B_1$ — квадрат, то треугольник $BCC_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BCC_1 = 90^\circ$. Катеты $BC$ и $CC_1$ равны 1.
Треугольник $BCC_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при гипотенузе $BC_1$ равны.
Таким образом, искомый угол $\angle CC_1B = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

в) AC₁ и B₁C

Прямые $AC_1$ и $B_1C$ являются скрещивающимися. Для нахождения угла между ними воспользуемся методом координат.
Введем систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим вдоль ребра $AB$, ось $z$ — вдоль ребра $AA_1$. Плоскость $ABC$ будет совпадать с плоскостью $Oxy$.
Координаты вершин треугольника $ABC$ (равносторонний, сторона 1):
$A(0, 0, 0)$
$B(1, 0, 0)$
Высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$, равна $\sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Координаты точки $C$: $C(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Так как высота призмы равна 1, координаты вершин верхнего основания:
$A_1(0, 0, 1)$
$B_1(1, 0, 1)$
$C_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
Найдем координаты векторов, соответствующих нашим прямым:
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (\frac{1}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$\vec{B_1C} = C - B_1 = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$.
Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1C}}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{B_1C}|}$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{AC_1} \cdot \vec{B_1C} = (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1) \cdot (-1) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{2}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Найдем длины векторов:
$|\vec{AC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$|\vec{B_1C}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Теперь найдем косинус угла между векторами:
$\cos \alpha = \frac{-1/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1/2}{2} = -\frac{1}{4}$.
Угол $\phi$ между прямыми определяется как острый угол между ними, поэтому $\cos \phi = |\cos \alpha|$.
$\cos \phi = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.
Следовательно, угол между прямыми равен $\arccos(\frac{1}{4})$.
Ответ: $\arccos(\frac{1}{4})$.