Номер 76, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

76. Имеется куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $B_1C$;

б) $AA_1$ и $BD$;

в) $AA_1$ и $BD_1$;

г) $AD_1$ и $B_1D$;

д) $AD_1$ и $B_1C$;

е) $AD_1$ и $A_1B$;

ж) $AC_1$ и $B_1C$;

з) $AC_1$ и $A_1D$;

и) $AC_1$ и $D_1C$.

Для решения задачи введём систему координат. Пусть вершина куба `A` находится в начале координат `(0,0,0)`, а рёбра `AB`, `AD`, `AA₁` лежат на осях `Ox`, `Oy`, `Oz` соответственно. Пусть длина ребра куба равна `a`. Тогда координаты вершин куба будут следующими:`A(0,0,0)`, `B(a,0,0)`, `C(a,a,0)`, `D(0,a,0)`,`A₁(0,0,a)`, `B₁(a,0,a)`, `C₁(a,a,a)`, `D₁(0,a,a)`. Угол `φ` между двумя прямыми с направляющими векторами `\vec{u}` и `\vec{v}` можно найти по формуле:`cos(φ) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}`

а) AA₁ и B₁C

Прямая `AA₁` параллельна прямой `BB₁`, поэтому угол между `AA₁` и `B₁C` равен углу между `BB₁` и `B₁C`. Эти прямые пересекаются в точке `B₁` и образуют угол `∠BB₁C`. Рассмотрим грань `BCC₁B₁` - это квадрат. Прямая `BB₁` - сторона этого квадрата, а `B₁C` - его диагональ. В прямоугольном треугольнике `BB₁C` (угол `∠B` прямой, так как ребро `BB₁` перпендикулярно основанию `ABCD`) катеты `BB₁` и `BC` равны `a`. Следовательно, `△BB₁C` — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны `45°`. Таким образом, `∠BB₁C = 45°`.
Ответ: `45°`

б) AA₁ и BD

Ребро `AA₁` перпендикулярно плоскости основания `ABCD`. Прямая `BD` лежит в этой плоскости. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая `AA₁` перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости `ABCD`, в том числе и прямой `BD`. Следовательно, угол между ними равен `90°`.
Ответ: `90°`

в) AA₁ и BD₁

Прямая `AA₁` параллельна прямой `DD₁`, поэтому искомый угол равен углу между `DD₁` и `BD₁`, то есть `∠BD₁D`. Рассмотрим треугольник `BDD₁`. Он прямоугольный, так как ребро `DD₁` перпендикулярно плоскости `ABCD` и, следовательно, прямой `BD`, лежащей в этой плоскости. `∠BDD₁ = 90°`. Длина ребра `DD₁ = a`. `BD` — диагональ квадрата `ABCD`, поэтому `BD = a\sqrt{2}`.`BD₁` — главная диагональ куба, её длина `BD₁ = \sqrt{BD^2 + DD₁^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}`. Из треугольника `BDD₁` находим косинус угла `∠BD₁D`:`cos(∠BD₁D) = \frac{DD₁}{BD₁} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}`. Угол равен `arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})`.
Ответ: `arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})`

г) AD₁ и B₁D

Найдём направляющие векторы для данных прямых:`\vec{u} = \vec{AD₁} = D₁ - A = (0,a,a) - (0,0,0) = (0, a, a)`.`\vec{v} = \vec{B₁D} = D - B₁ = (0,a,0) - (a,0,a) = (-a, a, -a)`. Найдём их скалярное произведение:`\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0`. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми равен `90°`.
Ответ: `90°`

д) AD₁ и B₁C

Прямая `AD₁` параллельна прямой `BC₁` (как диагонали противолежащих граней `ADD₁A₁` и `BCC₁B₁`). Поэтому угол между `AD₁` и `B₁C` равен углу между `BC₁` и `B₁C`. Прямые `BC₁` и `B₁C` являются диагоналями квадрата `BCC₁B₁`. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Следовательно, угол между ними равен `90°`.
Ответ: `90°`

е) AD₁ и A₁B

Прямая `A₁B` параллельна прямой `D₁C` (так как `A₁BCD₁` — прямоугольник). Искомый угол равен углу между прямыми `AD₁` и `D₁C`, то есть `∠AD₁C`. Рассмотрим треугольник `AD₁C`. Длины его сторон:`AD₁` — диагональ грани `ADD₁A₁`, `AD₁ = a\sqrt{2}`.`D₁C` — диагональ грани `CDD₁C₁`, `D₁C = a\sqrt{2}`.`AC` — диагональ грани `ABCD`, `AC = a\sqrt{2}`. Все стороны треугольника `AD₁C` равны, значит, он равносторонний. Все углы в равностороннем треугольнике равны `60°`. Следовательно, `∠AD₁C = 60°`.
Ответ: `60°`

ж) AC₁ и B₁C

Найдём направляющие векторы для данных прямых:`\vec{u} = \vec{AC₁} = C₁ - A = (a,a,a) - (0,0,0) = (a, a, a)`.`\vec{v} = \vec{B₁C} = C - B₁ = (a,a,0) - (a,0,a) = (0, a, -a)`. Найдём их скалярное произведение:`\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0`. Скалярное произведение равно нулю, следовательно, прямые перпендикулярны. Угол между ними равен `90°`.
Ответ: `90°`

з) AC₁ и A₁D

Прямая `A₁D` параллельна прямой `B₁C` (так как `A₁D` и `B₁C` — диагонали параллельных граней, либо из векторного равенства `\vec{A₁D} = \vec{B₁C} = (0, a, -a)`).Следовательно, угол между `AC₁` и `A₁D` равен углу между `AC₁` и `B₁C`. В пункте (ж) было установлено, что этот угол равен `90°`.
Ответ: `90°`

и) AC₁ и D₁C

Прямая `D₁C` параллельна прямой `A₁B` (так как `A₁BCD₁` — прямоугольник). Следовательно, угол между `AC₁` и `D₁C` равен углу между `AC₁` и `A₁B`. Докажем перпендикулярность прямых `AC₁` и `A₁B`. Спроектируем наклонную `AC₁` на плоскость грани `ABB₁A₁`. Проекцией точки `A` является сама точка `A`, а проекцией точки `C₁` является точка `B₁`. Таким образом, проекцией прямой `AC₁` на плоскость `ABB₁A₁` будет прямая `AB₁`. Прямая `A₁B` лежит в этой плоскости. Прямые `A₁B` и `AB₁` являются диагоналями квадрата `ABB₁A₁`, поэтому они перпендикулярны. Так как прямая `A₁B`, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции `AB₁` наклонной `AC₁`, то по теореме о трёх перпендикулярах прямая `A₁B` перпендикулярна и самой наклонной `AC₁`. Следовательно, искомый угол равен `90°`.
Ответ: `90°`