Номер 69, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

69. Через данную точку нужно провести прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые. Всегда ли можно это сделать?

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $M$. Требуется провести через точку $M$ прямую $c$, которая пересекает обе прямые $a$ и $b$. Проанализируем, всегда ли это возможно, рассмотрев различные случаи расположения точки $M$.

1. Точка $M$ лежит на одной из данных прямых.Допустим, точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$). Искомая прямая $c$ должна проходить через $M$, а значит, она уже пересекает прямую $a$ в этой точке. Теперь нужно, чтобы прямая $c$ также пересекала прямую $b$. Возьмем любую точку $B$ на прямой $b$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не имеют общих точек, поэтому $M \neq B$. Через две различные точки $M$ и $B$ можно провести единственную прямую. Эта прямая $c=MB$ проходит через $M$ и пересекает $a$ (в точке $M$), а также пересекает $b$ (в точке $B$). Следовательно, она является решением задачи. Поскольку точку $B$ на прямой $b$ можно выбрать бесконечным числом способов, существует бесконечное множество решений. Аналогично, если $M \in b$, решение также всегда существует.

2. Точка $M$ не лежит ни на одной из данных прямых.Предположим, что искомая прямая $c$ существует. Пусть $A$ — точка пересечения прямой $c$ с прямой $a$, а $B$ — точка пересечения с прямой $b$. Так как прямая $c$ проходит через точку $M$, то точки $A, B$ и $M$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим плоскость $\alpha$, определённую прямой $a$ и точкой $M$ (такая плоскость единственна, так как $M \notin a$). Поскольку точки $M$ и $A$ (точка на прямой $a$) лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $c$, проходящая через них, также лежит в плоскости $\alpha$.

Аналогично, рассмотрим плоскость $\beta$, определённую прямой $b$ и точкой $M$ (такая плоскость единственна, так как $M \notin b$). Поскольку точки $M$ и $B$ (точка на прямой $b$) лежат в плоскости $\beta$, то вся прямая $c$ также лежит в плоскости $\beta$.

Таким образом, искомая прямая $c$ должна быть линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Так как обе плоскости проходят через точку $M$, они пересекаются по прямой, проходящей через $M$. Эта прямая и является единственным кандидатом на решение.

Однако, будет ли эта прямая $c = \alpha \cap \beta$ пересекать прямые $a$ и $b$?

• Прямые $c$ и $a$ лежат в одной плоскости $\alpha$. Они пересекутся, если только не будут параллельны.
• Прямые $c$ и $b$ лежат в одной плоскости $\beta$. Они пересекутся, если только не будут параллельны.

Рассмотрим случай, когда $c \parallel a$. Это произойдет, если прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$. Плоскость $\beta$ проходит через точку $M$ и прямую $b$. Прямая $a$ будет параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда точка $M$ лежит в плоскости $\delta$, проходящей через прямую $b$ параллельно прямой $a$. Если точка $M$ попадёт в эту плоскость $\delta$, то построенная прямая $c$ будет параллельна прямой $a$ и не пересечет ее. В этом случае решения не существует.

Аналогично, если $c \parallel b$, это произойдет, если прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$. Это равносильно тому, что точка $M$ лежит в плоскости $\gamma$, проходящей через прямую $a$ параллельно прямой $b$. В этом случае построенная прямая $c$ не пересечет прямую $b$, и решения также не будет.

Итак, существуют такие положения точки $M$ (не на прямых $a$ и $b$), при которых провести искомую прямую невозможно.

Ответ: Нет, не всегда. Если данная точка $M$ лежит на одной из скрещивающихся прямых, то провести искомую прямую всегда возможно (существует бесконечно много решений). Если же точка $M$ не лежит ни на одной из прямых, то решение существует не всегда. Исключением являются случаи, когда точка $M$ принадлежит одной из двух плоскостей: плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй, или плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой. В этих случаях провести требуемую прямую невозможно.