Номер 65, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

65. На рисунке 35 прямые $AB$ и $A_1B_1$ скрещивающиеся, точки $P$ и $Q$ отмечены на прямых $AA_1$ и $BB_1$. Определите, могут ли пересекаться прямые $PQ$ и $A_1B_1$.

Рис. 35

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного. Допустим, что прямые PQ и A₁B₁ пересекаются.

Если две прямые пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость греческой буквой α. Таким образом, и прямая PQ, и прямая A₁B₁ лежат в плоскости α.

Из того, что прямые лежат в плоскости α, следует, что все их точки также принадлежат этой плоскости. В частности:

• Точки P и Q (принадлежащие прямой PQ) лежат в плоскости α.
• Точки A₁ и B₁ (принадлежащие прямой A₁B₁) лежат в плоскости α.

По условию задачи, точка P принадлежит прямой AA₁, а точка Q — прямой BB₁.

Рассмотрим прямую AA₁. Так как две её точки, A₁ и P, лежат в плоскости α, то и вся прямая AA₁ лежит в этой плоскости.

Аналогично рассмотрим прямую BB₁. Так как две её точки, B₁ и Q, лежат в плоскости α, то и вся прямая BB₁ лежит в этой плоскости.

Теперь обратим внимание на прямые AB и A₁B₁ из условия задачи. Мы уже знаем, что прямая A₁B₁ лежит в плоскости α.

Поскольку вся прямая AA₁ лежит в плоскости α, то и точка A, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости α.

Поскольку вся прямая BB₁ лежит в плоскости α, то и точка B, принадлежащая этой прямой, также лежит в плоскости α.

Так как точки A и B лежат в плоскости α, то и прямая AB, проходящая через эти две точки, целиком лежит в плоскости α.

Таким образом, мы пришли к выводу, что если прямые PQ и A₁B₁ пересекаются, то прямые AB и A₁B₁ должны лежать в одной и той же плоскости α. Однако это прямо противоречит условию задачи, согласно которому прямые AB и A₁B₁ являются скрещивающимися. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное допущение было неверным.

Ответ: Прямые PQ и A₁B₁ не могут пересекаться.