Номер 66, страница 13 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

66. Три плоскости попарно пересекаются по прямым $a$, $b$, $c$. Прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Может ли прямая $c$ пересекаться с прямыми $a$ и $b$?

Обозначим три плоскости как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, они попарно пересекаются по прямым $a$, $b$ и $c$. Это можно записать следующим образом:

• $a = \alpha \cap \beta$
• $b = \beta \cap \gamma$
• $c = \alpha \cap \gamma$

В условии сказано, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются. Обе эти прямые ($a$ и $b$) лежат в одной плоскости $\beta$. Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, являются параллельными. Следовательно, $a \parallel b$.

Существует два возможных случая взаимного расположения трех попарно пересекающихся плоскостей:

1. Все три плоскости имеют одну общую точку. В этом случае все три прямые их попарного пересечения ($a, b, c$) проходят через эту точку, а значит, пересекаются. Это противоречит условию, что прямые $a$ и $b$ не пересекаются.
2. Все три плоскости не имеют общей точки. В этом случае прямые их попарного пересечения параллельны друг другу.

Поскольку первый случай невозможен по условию задачи, остается только второй. Это означает, что все три прямые должны быть параллельны: $a \parallel b \parallel c$.

Докажем это строго, методом от противного.

Предположим, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$. Так как обе прямые ($a$ и $c$) лежат в плоскости $\alpha$, их пересечение возможно.

Если точка $M$ является точкой пересечения, то выполняются условия:

• $M \in a$, а так как $a = \alpha \cap \beta$, то $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.
• $M \in c$, а так как $c = \alpha \cap \gamma$, то $M \in \alpha$ и $M \in \gamma$.

Из этого следует, что точка $M$ принадлежит всем трем плоскостям: $\alpha, \beta$ и $\gamma$. Если три плоскости имеют общую точку, то все прямые их попарного пересечения должны проходить через эту точку. Следовательно, прямая $b = \beta \cap \gamma$ также должна проходить через точку $M$. Но это означало бы, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$, что противоречит условию задачи.

Таким образом, наше предположение неверно. Прямая $c$ не может пересекать прямую $a$. Поскольку они лежат в одной плоскости $\alpha$, они должны быть параллельны ($c \parallel a$).

Так как $a \parallel b$ и $c \parallel a$, то по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $c \parallel b$. Значит, прямая $c$ не может пересекать и прямую $b$.

Следовательно, прямая $c$ не может пересекаться ни с прямой $a$, ни с прямой $b$.

Ответ: Нет, прямая $c$ не может пересекаться с прямыми $a$ и $b$.