Номер 773, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

773. Две стороны треугольника равны 5 см и 16 см, а угол между ними — $120^\circ$. Найдите третью сторону и два других угла.

Пусть в треугольнике даны две стороны $a = 5$ см, $b = 16$ см и угол $\gamma$ между ними, равный $120°$. Необходимо найти третью сторону $c$ и два других угла, $\alpha$ и $\beta$. Угол $\alpha$ будет лежать напротив стороны $a$, а угол $\beta$ — напротив стороны $b$.

Третья сторона

Для нахождения длины третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Подставим в формулу известные значения: $c^2 = 5^2 + 16^2 - 2 \cdot 5 \cdot 16 \cdot \cos(120°)$.

Так как $\cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -0.5$, подставим это значение в уравнение: $c^2 = 25 + 256 - 160 \cdot (-0.5) = 281 + 80 = 361$.

Извлекая квадратный корень, находим сторону $c$: $c = \sqrt{361} = 19$ см.

Ответ: 19 см.

Два других угла

Зная все три стороны, мы можем найти оставшиеся углы с помощью теоремы синусов: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$.

Найдем угол $\alpha$, который лежит напротив стороны $a = 5$ см. Из соотношения $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ выразим $\sin(\alpha)$: $\sin(\alpha) = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{5 \cdot \sin(120°)}{19}$.

Так как $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то: $\sin(\alpha) = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{19} = \frac{5\sqrt{3}}{38}$. Следовательно, угол $\alpha = \arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{38}\right)$.

Аналогично найдем угол $\beta$, противолежащий стороне $b = 16$ см, из соотношения $\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$: $\sin(\beta) = \frac{b \cdot \sin(\gamma)}{c} = \frac{16 \cdot \sin(120°)}{19} = \frac{16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{19} = \frac{8\sqrt{3}}{19}$. Следовательно, угол $\beta = \arcsin\left(\frac{8\sqrt{3}}{19}\right)$.

Приблизительные значения углов, которые можно найти с помощью калькулятора: $\alpha \approx 13.17°$ и $\beta \approx 46.83°$. (Проверка: $13.17° + 46.83° + 120° = 180°$).

Ответ: $\arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{38}\right)$ и $\arcsin\left(\frac{8\sqrt{3}}{19}\right)$.