Номер 776, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

776. Две стороны треугольника равны 3 м и $3\sqrt{3}$ м, а угол против большей их них — $60^{\circ}$ (рис. 246). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, третью сторону и два других угла.

Обозначим стороны треугольника как $a=3$ м, $b=3\sqrt{3}$ м, и $c$ — третья сторона. Пусть $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы, противолежащие сторонам $a$, $b$, $c$ соответственно.

Сравним длины известных сторон: $3^2 = 9$ и $(3\sqrt{3})^2 = 27$. Так как $27 > 9$, сторона $b = 3\sqrt{3}$ длиннее стороны $a = 3$. По условию, угол, противолежащий большей из этих двух сторон, равен $60°$. Следовательно, $\beta = 60°$.

Радиус окружности, описанной около треугольника

Радиус $R$ описанной окружности можно найти с помощью следствия из теоремы синусов: $$ \frac{b}{\sin\beta} = 2R $$ Подставим известные значения $b = 3\sqrt{3}$ и $\beta = 60°$: $$ 2R = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 60°} $$ Поскольку $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $$ 2R = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6 $$ Отсюда радиус равен: $$ R = \frac{6}{2} = 3 \text{ м} $$ Ответ: радиус описанной окружности равен 3 м.

Третья сторона

Третью сторону $c$ найдем по теореме косинусов. Для стороны $b$ теорема косинусов выглядит так: $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta $$ Подставим известные значения $a=3$, $b=3\sqrt{3}$ и $\beta=60°$: $$ (3\sqrt{3})^2 = 3^2 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \cos 60° $$ $$ 27 = 9 + c^2 - 6c \cdot \frac{1}{2} $$ $$ 27 = 9 + c^2 - 3c $$ Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $c$: $$ c^2 - 3c - 18 = 0 $$ Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$. Корни уравнения: $$ c = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2} $$ Получаем два решения: $c_1 = \frac{3+9}{2} = 6$ и $c_2 = \frac{3-9}{2} = -3$. Так как длина стороны не может быть отрицательной, единственно верное решение — $c=6$ м. Ответ: третья сторона равна 6 м.

Два других угла

Теперь, зная все три стороны ($a=3, b=3\sqrt{3}, c=6$) и один угол ($\beta=60°$), мы можем найти остальные углы. Найдем угол $\alpha$ по теореме синусов: $$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} $$ Отсюда: $$ \sin\alpha = \frac{a \cdot \sin\beta}{b} = \frac{3 \cdot \sin 60°}{3\sqrt{3}} = \frac{\sin 60°}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} $$ В треугольнике, синус угла равен $1/2$ для углов $30°$ и $150°$. Так как в треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол, а $a < b$ ($3 < 3\sqrt{3}$), то и угол $\alpha$ должен быть меньше угла $\beta=60°$. Следовательно, $\alpha = 30°$.

Третий угол $\gamma$ находим из свойства о сумме углов треугольника: $$ \gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 30° - 60° = 90° $$ Таким образом, треугольник является прямоугольным. Ответ: два других угла равны 30° и 90°.