Номер 949, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

949. Расстояния от трех вершин параллелограмма до плоскости равны 6 см, 8 см и 16 см. Укажите возможные значения расстояний от четвертой вершины параллелограмма до этой плоскости.

Пусть параллелограмм $ABCD$ расположен в пространстве, а $\pi$ — заданная плоскость. Обозначим через $A', B', C', D'$ ортогональные проекции вершин параллелограмма на плоскость $\pi$. Расстояния от вершин до плоскости равны длинам отрезков $AA', BB', CC', DD'$. Обозначим эти расстояния $h_A, h_B, h_C, h_D$.

Диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая является их общей серединой. Проекция точки $O$ на плоскость $\pi$, точка $O'$, является серединой проекций диагоналей $A'C'$ и $B'D'$.

Введем систему координат, в которой плоскость $\pi$ является плоскостью $xy$ (то есть, задается уравнением $z=0$). Тогда расстояния от вершин до плоскости будут равны абсолютным значениям их $z$-координат: $h_A = |z_A|$, $h_B = |z_B|$, $h_C = |z_C|$, $h_D = |z_D|$.

Так как точка $O$ — середина отрезков $AC$ и $BD$, ее $z$-координата может быть выражена двумя способами:$z_O = \frac{z_A + z_C}{2}$ и $z_O = \frac{z_B + z_D}{2}$. Приравнивая эти выражения, получаем основное соотношение для $z$-координат вершин параллелограмма:$z_A + z_C = z_B + z_D$.

По условию, расстояния от трех вершин до плоскости равны 6 см, 8 см и 16 см. Пусть это будут $d_1=6$, $d_2=8$, $d_3=16$. Нам нужно найти возможные значения расстояния от четвертой вершины, $d_4$.

Любые три вершины параллелограмма состоят из одной пары противолежащих вершин и еще одной вершины. Например, для вершин $A, B, C$ пара противолежащих — это $A$ и $C$. Для вершин $A, B, D$ пара противолежащих — $B$ и $D$.

Пусть известны расстояния для вершин $A, C$ и $B$. Тогда мы ищем расстояние для вершины $D$. Из основного соотношения имеем:$z_D = z_A + z_C - z_B$. Нам даны абсолютные значения трех координат, $|z_A|, |z_C|, |z_B|$, которые в некотором порядке равны 6, 8, 16. Мы должны найти $|z_D|$.

Координаты $z_A, z_B, z_C$ могут быть положительными или отрицательными в зависимости от того, по какую сторону от плоскости $\pi$ находятся соответствующие вершины. Рассмотрим все возможные комбинации знаков и распределения заданных расстояний. Пусть $h_1, h_2, h_3$ — данные расстояния. Расстояние от четвертой вершины $h_4$ будет одним из следующих значений в зависимости от того, какие вершины являются противолежащими и как они расположены относительно плоскости:

• $h_4 = |h_1 + h_2 - h_3|$
• $h_4 = |h_1 + h_3 - h_2|$
• $h_4 = |h_2 + h_3 - h_1|$
• $h_4 = h_1 + h_2 + h_3$

Эти четыре формулы покрывают все возможные случаи. Первые три соответствуют ситуациям, когда по крайней мере одна из вершин находится по другую сторону плоскости от двух других, или когда все вершины находятся по одну сторону. Четвертая формула соответствует случаю, когда две противолежащие вершины находятся по одну сторону, а две другие — по другую.

Подставим данные значения $h_1=6, h_2=8, h_3=16$ в эти формулы, чтобы найти все возможные значения для расстояния от четвертой вершины.

1. Найдем значение по формуле $|h_1 + h_2 - h_3|$:$|6 + 8 - 16| = |-2| = 2$ см.

2. Найдем значение по формуле $|h_1 + h_3 - h_2|$:$|6 + 16 - 8| = |14| = 14$ см.

3. Найдем значение по формуле $|h_2 + h_3 - h_1|$:$|8 + 16 - 6| = |18| = 18$ см.

4. Найдем значение по формуле $h_1 + h_2 + h_3$:$6 + 8 + 16 = 30$ см.

Таким образом, мы получили четыре возможных значения для расстояния от четвертой вершины параллелограмма до плоскости.

Ответ: Возможные значения расстояния от четвертой вершины до плоскости равны 2 см, 14 см, 18 см или 30 см.