Номер 956, страница 134 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

956. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = a, AD = b, AA_1 = c,$ причем $a < b < c$. Какая диагональ с какой гранью образует наибольший угол; наименьший угол?

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с измерениями $AB = a$, $AD = b$ и $AA_1 = c$. По условию $a < b < c$. Все четыре главные диагонали параллелепипеда ($AC_1$, $BD_1$, $B_1D$, $A_1C$) равны по длине. Обозначим длину диагонали как $d$. По теореме Пифагора для пространства, квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, откуда $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Угол между прямой (диагональю) и плоскостью (гранью) — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Синус этого угла равен отношению длины ребра, перпендикулярного к этой грани, к длине самой диагонали.

В параллелепипеде есть три пары параллельных граней с разными размерами:

• Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ с размерами $a \times b$. Перпендикулярное к ним ребро имеет длину $c$.
• Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ с размерами $a \times c$. Перпендикулярное к ним ребро имеет длину $b$.
• Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ с размерами $b \times c$. Перпендикулярное к ним ребро имеет длину $a$.

Обозначим углы, которые любая диагональ образует с этими гранями, как $\alpha_{ab}$, $\alpha_{ac}$ и $\alpha_{bc}$ соответственно. Найдем их синусы:

• $\sin(\alpha_{ab}) = \frac{c}{d} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
• $\sin(\alpha_{ac}) = \frac{b}{d} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
• $\sin(\alpha_{bc}) = \frac{a}{d} = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Так как все эти углы являются острыми (от $0$ до $90$ градусов), функция синуса на этом промежутке возрастает. Это означает, что большему значению синуса соответствует больший угол.

наибольший угол

Для нахождения наибольшего угла необходимо сравнить значения синусов. Поскольку знаменатель $d$ у всех выражений одинаков, сравнение сводится к сравнению числителей: $a, b, c$. По условию $a < b < c$, следовательно, $c$ является наибольшей величиной. Значит, $\sin(\alpha_{ab}) = \frac{c}{d}$ имеет наибольшее значение. Этот синус соответствует углу между диагональю и гранью, перпендикулярной ребру длиной $c$. Такими гранями являются грани с размерами $a \times b$ (например, $ABCD$).

Ответ: наибольший угол любая из диагоналей образует с гранью, имеющей наименьшую площадь (размером $a \times b$), то есть с гранями $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

наименьший угол

Для нахождения наименьшего угла необходимо найти наименьшее значение синуса. Согласно условию $a < b < c$, наименьшей величиной является $a$. Следовательно, $\sin(\alpha_{bc}) = \frac{a}{d}$ имеет наименьшее значение. Этот синус соответствует углу между диагональю и гранью, перпендикулярной ребру длиной $a$. Такими гранями являются грани с размерами $b \times c$ (например, $ADD_1A_1$).

Ответ: наименьший угол любая из диагоналей образует с гранью, имеющей наибольшую площадь (размером $b \times c$), то есть с гранями $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$.