Номер 136, страница 68 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

136. Через точку пересечения медиан грани $MPQ$ треугольной пирамиды $MNPQ$ проведена прямая, параллельная медиане $PA$ грани $MNP$. Найдите длину расположенного внутри пирамиды отрезка этой прямой, учитывая, что $PA = m$.

Решение

Обозначим заданную треугольную пирамиду как $MNPQ$. Пусть точка $O$ — точка пересечения медиан грани $MPQ$. По определению, $O$ является центроидом треугольника $MPQ$. Пусть $PA$ — медиана грани $MNP$, проведенная из вершины $P$ к стороне $MN$. Это означает, что точка $A$ — середина ребра $MN$. По условию задачи, длина медианы $PA = m$.

Через точку $O$ проведена прямая $l$, параллельная медиане $PA$. Нам необходимо найти длину отрезка этой прямой, который расположен внутри пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся методом сечений. Рассмотрим плоскость $\Pi$, которая проходит через прямую $PA$ и точку $O$. Поскольку прямая $l$ проходит через точку $O$ и параллельна $PA$, прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\Pi$. Искомый отрезок является частью прямой $l$, а значит, он также лежит в плоскости $\Pi$. Границами этого отрезка будут точки пересечения прямой $l$ с гранями пирамиды. Чтобы найти эти точки, построим сечение пирамиды плоскостью $\Pi$.

Найдем линии пересечения плоскости $\Pi$ с гранями пирамиды:

• Плоскость $\Pi$ проходит через точки $P$ и $A$, значит, она содержит отрезок $PA$, который является линией пересечения с гранью $MNP$.
• Плоскость $\Pi$ проходит через точку $O$ — центроид грани $MPQ$. Проведем в треугольнике $MPQ$ медиану из вершины $P$ к стороне $MQ$. Пусть $E$ — середина стороны $MQ$. Тогда $PE$ — медиана $\triangle MPQ$. По свойству центроида, точка $O$ лежит на этой медиане. Следовательно, вся прямая $PE$ лежит в плоскости $\Pi$, а отрезок $PE$ — это линия пересечения $\Pi$ с гранью $MPQ$.
• Точки $A$ и $E$ принадлежат плоскости $\Pi$. Точка $A$ лежит на ребре $MN$, а точка $E$ — на ребре $MQ$. Обе точки лежат в плоскости грани $MNQ$. Следовательно, отрезок $AE$ является линией пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $MNQ$.

Таким образом, сечением пирамиды $MNPQ$ плоскостью $\Pi$ является треугольник $PAE$.

Теперь рассмотрим расположение прямой $l$ в плоскости этого сечения, то есть в треугольнике $PAE$. Прямая $l$ проходит через точку $O$ и по условию параллельна стороне $PA$ треугольника $PAE$. Точка $O$ лежит на стороне $PE$ этого треугольника (так как $O$ — центроид, а $PE$ — медиана).

Отрезок прямой $l$, находящийся внутри пирамиды, совпадает с отрезком, находящимся внутри сечения $\triangle PAE$. Так как $l$ проходит через точку $O$ на стороне $PE$, один конец искомого отрезка — это точка $O$. Пусть другой конец отрезка — точка $Y$. Поскольку прямая $l$ параллельна стороне $PA$, она пересечет другую сторону треугольника, $AE$. Таким образом, искомый отрезок — это $OY$, где $Y$ лежит на стороне $AE$.

В треугольнике $PAE$ проведен отрезок $OY$, параллельный стороне $PA$. По теореме о подобных треугольниках, треугольник $EYO$ подобен треугольнику $EPA$ (угол при вершине $E$ у них общий, а углы $\angle EYO$ и $\angle EPA$ равны как соответственные при параллельных прямых $OY$ и $PA$ и секущей $EP$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{OY}{PA} = \frac{EO}{EP} $$ Точка $O$ — центроид треугольника $MPQ$, а $PE$ — его медиана. По свойству центроида, он делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины, то есть $PO : OE = 2:1$. Отсюда можно выразить длину всей медианы $EP$ через длину ее части $EO$: $EP = PO + OE = 2 \cdot OE + OE = 3 \cdot OE$.

Найдем искомое отношение: $$ \frac{EO}{EP} = \frac{OE}{3 \cdot OE} = \frac{1}{3} $$ Подставим это отношение в формулу из подобия треугольников: $$ \frac{OY}{PA} = \frac{1}{3} $$ Учитывая, что по условию $PA = m$, получаем: $$ OY = \frac{1}{3} PA = \frac{m}{3} $$ Следовательно, длина отрезка прямой, расположенного внутри пирамиды, равна $\frac{m}{3}$.

Ответ: $\frac{m}{3}$