Номер 143, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

143*. Постройте сечение параллелепипеда $CDEFC_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через ребро $EE_1$ и точку $A$, выбранную на ребре $CC_1$.

Решение задачи

Пусть дан параллелепипед $CDEFC_1D_1E_1F_1$. Требуется построить сечение этого параллелепипеда плоскостью, которую мы назовем $\alpha$, проходящей через ребро $EE_1$ и точку $A$, принадлежащую ребру $CC_1$.

По свойству параллелепипеда, его боковые ребра параллельны и равны. В частности, ребро $CC_1$ параллельно ребру $EE_1$, что можно записать как $CC_1 \parallel EE_1$.

Секущая плоскость $\alpha$ определяется прямой (в нашем случае ребром $EE_1$) и точкой, не лежащей на этой прямой (точкой $A$).

Рассмотрим плоскость, которая проходит через две параллельные прямые $EE_1$ и $CC_1$. Такая плоскость существует и она единственна. Эта плоскость содержит всю прямую $EE_1$. Так как точка $A$ по условию лежит на ребре $CC_1$, то точка $A$ также принадлежит этой плоскости.

Поскольку через прямую и точку вне ее проходит единственная плоскость, то искомая плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью, проходящей через параллельные ребра $EE_1$ и $CC_1$.

Теперь для построения сечения найдем линии пересечения этой плоскости с гранями параллелепипеда. Сторонами искомого сечения являются отрезки, по которым плоскость $\alpha$ пересекает грани.

Поскольку плоскость $\alpha$ содержит ребра $CC_1$ и $EE_1$, то эти ребра целиком являются сторонами сечения. Плоскость $\alpha$ также проходит через точки $C$ и $E$ (вершины нижнего основания) и через точки $C_1$ и $E_1$ (вершины верхнего основания). Следовательно, она пересекает нижнее основание $CDEF$ по отрезку $CE$, а верхнее основание $C_1D_1E_1F_1$ — по отрезку $C_1E_1$.

Таким образом, искомым сечением является четырехугольник, образованный отрезками $CE$, $EE_1$, $E_1C_1$ и $C_1C$. Это четырехугольник $CEE_1C_1$. Так как в этом четырехугольнике стороны $CC_1$ и $EE_1$ параллельны и равны (как противоположные боковые ребра параллелепипеда), то сечение $CEE_1C_1$ является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $CEE_1C_1$.