Номер 150, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

150. На рисунке 182 изображена правильная треугольная пирамида $IJKL$. Четырёхугольник $XYZT$ — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середины $X$ и $Y$ рёбер $JI$ и $JL$ и параллельно медиане $JE$ грани $JKL$. Найдите длину отрезков $XY$ и $ZT$, учитывая, что $IK = 48$ см.

Рис. 182

Нахождение длины отрезка XY

Рассмотрим боковую грань $IJL$ пирамиды. По условию задачи, точка $X$ является серединой ребра $JI$, а точка $Y$ — серединой ребра $JL$. Таким образом, отрезок $XY$ является средней линией треугольника $IJL$.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $XY \parallel IL$ и $XY = \frac{1}{2} IL$.

Поскольку пирамида $IJKL$ является правильной, все её боковые рёбра равны. Из условия дано, что $IK = 48$ см, значит, и $IL = 48$ см.

Теперь мы можем вычислить длину отрезка $XY$:
$XY = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24$ см.

Ответ: $XY = 24$ см.

Нахождение длины отрезка ZT

Сначала докажем, что отрезок $ZT$ параллелен ребру $IL$. Плоскость сечения $(XYZT)$ проходит через прямую $XY$. Как мы уже установили, $XY \parallel IL$. Если прямая ($IL$), не лежащая в плоскости сечения, параллельна некоторой прямой ($XY$) в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости сечения. Таким образом, $IL \parallel (XYZT)$. Плоскость грани $IKL$ содержит прямую $IL$ и пересекает плоскость сечения по прямой $ZT$. По теореме о параллельности прямой и плоскости, линия их пересечения $ZT$ будет параллельна прямой $IL$.

Далее определим положение точки $Z$ на ребре $KL$. По условию, плоскость сечения $(XYZT)$ параллельна медиане $JE$ грани $JKL$. Линия пересечения плоскости сечения с плоскостью основания $JKL$ — это прямая $YZ$. Следовательно, $YZ \parallel JE$. В треугольнике $JKL$ точка $E$ является серединой стороны $KL$, так как $JE$ — медиана.

Рассмотрим треугольник $JLE$. В нём точка $Y$ — середина стороны $JL$. Через эту точку проведена прямая $YZ$, параллельная стороне $JE$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии), точка $Z$ является серединой отрезка $LE$.

Теперь мы можем найти соотношение длин отрезков на ребре $KL$. Так как $E$ — середина $KL$, а $Z$ — середина $LE$, то:$LE = \frac{1}{2} KL$
$LZ = \frac{1}{2} LE = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} KL) = \frac{1}{4} KL$
Длина отрезка $KZ$ составляет: $KZ = KL - LZ = KL - \frac{1}{4} KL = \frac{3}{4} KL$.

Наконец, вычислим длину отрезка $ZT$. В треугольнике $IKL$ отрезок $ZT$ параллелен основанию $IL$. Это означает, что треугольник $TKZ$ подобен треугольнику $IKL$ ($\triangle TKZ \sim \triangle IKL$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{KZ}{KL} = \frac{\frac{3}{4} KL}{KL} = \frac{3}{4}$.

Из подобия треугольников следует, что $\frac{ZT}{IL} = k = \frac{3}{4}$. Отсюда находим длину $ZT$, зная, что $IL = 48$ см:
$ZT = \frac{3}{4} IL = \frac{3}{4} \cdot 48 = 3 \cdot 12 = 36$ см.

Ответ: $ZT = 36$ см.