Номер 149, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

149. Точки $A, B, C$ — соответственно середины рёбер $LN, LK, MK$ треугольной пирамиды $LMNK$, все рёбра которой равны друг другу, а площадь грани равна $16\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите периметр сечения этой пирамиды плоскостью $ABC$.

1. Нахождение длины ребра пирамиды

По условию, все рёбра треугольной пирамиды $LMNK$ равны друг другу. Это означает, что пирамида является правильным тетраэдром, а все её грани — равные между собой равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Нам дана площадь грани $S = 16\sqrt{3}$ см². Приравняем это значение к формуле площади и найдём длину ребра $a$:

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$\frac{a^2}{4} = 16$

$a^2 = 16 \cdot 4 = 64$

$a = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, длина каждого ребра пирамиды равна 8 см.

2. Определение фигуры сечения

Сечение пирамиды проходит через точки $A$, $B$ и $C$, которые являются серединами рёбер $LN$, $LK$ и $MK$ соответственно. Рассмотрим стороны многоугольника, который является сечением.

Отрезок $AB$ соединяет середины сторон $LN$ и $LK$ в треугольнике $LNK$. Следовательно, $AB$ является средней линией треугольника $LNK$. По свойству средней линии, $AB$ параллельна стороне $NK$ и равна её половине.

Отрезок $BC$ соединяет середины сторон $LK$ и $MK$ в треугольнике $LMK$. Следовательно, $BC$ является средней линией треугольника $LMK$. По свойству средней линии, $BC$ параллельна стороне $LM$ и равна её половине.

Плоскость сечения $ABC$ содержит прямую $BC$, которая параллельна ребру $LM$. Следовательно, плоскость сечения пересечёт грань $LMN$ (которая также содержит ребро $LM$) по прямой, параллельной $LM$. Эта прямая проходит через точку $A$ (середину $LN$). Пусть эта прямая пересекает ребро $MN$ в точке $D$. Так как $AD$ параллельна $LM$ и $A$ — середина $LN$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии) точка $D$ является серединой ребра $MN$.

Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник $ABCD$, вершины которого являются серединами рёбер $LN$, $LK$, $MK$ и $MN$.

3. Расчёт периметра сечения

Периметр сечения $P_{ABCD}$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA$. Найдём длину каждой стороны, используя свойство средней линии треугольника.

Сторона $AB$ является средней линией треугольника $LNK$, поэтому $AB = \frac{1}{2}NK = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Сторона $BC$ является средней линией треугольника $LMK$, поэтому $BC = \frac{1}{2}LM = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Сторона $CD$ соединяет середины рёбер $MK$ и $MN$, значит, $CD$ — средняя линия треугольника $MNK$. Поэтому $CD = \frac{1}{2}NK = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Сторона $DA$ соединяет середины рёбер $MN$ и $LN$, значит, $DA$ — средняя линия треугольника $LMN$. Поэтому $DA = \frac{1}{2}LM = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Все стороны сечения равны 4 см. Следовательно, периметр сечения равен:

$P_{ABCD} = 4 + 4 + 4 + 4 = 16$ см.

Ответ: 16 см.