Номер 203, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

203. Прямая $a$ параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая $a$ или параллельна другой из этих плоскостей, или лежит в ней.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ (что записывается как $\alpha \parallel \beta$) и прямая $a$. По условию, прямая $a$ параллельна одной из этих плоскостей, пусть это будет плоскость $\alpha$ (то есть $a \parallel \alpha$).

Требуется доказать, что прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$), либо лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что заключение теоремы неверно. Это означает, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$ и не лежит в ней.

Для прямой и плоскости в пространстве существует только три варианта взаимного расположения: 1) прямая лежит в плоскости; 2) прямая параллельна плоскости (не имеет с ней общих точек); 3) прямая пересекает плоскость в одной точке. По нашему предположению, первые два варианта для прямой $a$ и плоскости $\beta$ исключены. Следовательно, остается только третий вариант: прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в некоторой единственной точке. Обозначим эту точку $M$. Итак, $a \cap \beta = \{M\}$.

Так как точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны и не имеют общих точек, то точка $M$ не принадлежит плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

Теперь построим вспомогательную плоскость $\gamma$. Проведем эту плоскость через прямую $a$ и любую точку $A$, принадлежащую плоскости $\alpha$. Такое построение возможно, так как точка $A$ не лежит на прямой $a$ (ведь $a \parallel \alpha$, а $A \in \alpha$, поэтому прямая и точка не имеют общих точек).

Рассмотрим пересечение плоскости $\gamma$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Во-первых, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$. Линией их пересечения является прямая, проходящая через точку $A$. Назовем эту прямую $b$. По теореме (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой), мы имеем $b \parallel a$. Во-вторых, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$. Мы знаем, что точка $M$ принадлежит и прямой $a$ (а значит и плоскости $\gamma$), и плоскости $\beta$. Следовательно, $M$ лежит на линии пересечения $\gamma$ и $\beta$. Назовем эту линию пересечения $c$.

Теперь воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а плоскость $\gamma$ их пересекает, то линии пересечения также параллельны. То есть, $b \parallel c$.

Мы получили следующую цепочку параллельностей: $a \parallel b$ и $b \parallel c$. Из свойства транзитивности параллельности прямых в пространстве следует, что $a \parallel c$.

В то же время, обе прямые, $a$ и $c$, проходят через точку $M$ (прямая $a$ по нашему предположению, а прямая $c$ по построению). Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают. Следовательно, $a=c$.

Но прямая $c$ — это линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\beta$, и поэтому она целиком лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$). А так как $a=c$, то и прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Полученное утверждение ($a \subset \beta$) противоречит нашему исходному предположению, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ лишь в одной точке. Противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.

Таким образом, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\beta$. Это означает, что у них нет общих точек (тогда $a \parallel \beta$) или все их точки общие (тогда $a \subset \beta$). Следовательно, прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$, либо лежит в ней.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.