Номер 197, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

197. Докажите, что прямая $c$, пересекающая в разных точках прямые $a$ и $b$ одной плоскости, также лежит в этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии.

Пусть прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$. Это означает, что $a \subset \alpha$ и $b \subset \alpha$.

По условию, прямая $c$ пересекает прямую $a$ в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $A$. Поскольку точка $A$ является точкой пересечения, она принадлежит обеим прямым: $A \in a$ и $A \in c$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, то и любая ее точка, включая точку $A$, лежит в этой плоскости. Следовательно, $A \in \alpha$.

Также по условию, прямая $c$ пересекает прямую $b$ в другой, отличной от $A$, точке. Обозначим эту точку пересечения как $B$. Аналогично, точка $B$ принадлежит обеим прямым: $B \in b$ и $B \in c$. Так как прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $B$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $B \in \alpha$.

Таким образом, мы получили, что две различные точки $A$ и $B$ прямой $c$ принадлежат плоскости $\alpha$.

Согласно одной из основных аксиом стереометрии: если две различные точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Поскольку две различные точки ($A$ и $B$) прямой $c$ лежат в плоскости $\alpha$, мы можем заключить, что вся прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $c$, пересекающая в разных точках прямые $a$ и $b$ одной плоскости, также лежит в этой плоскости.