Номер 194, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

194. Параллелограммы $MNLK$ и $MNXY$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что четырёхугольник $KLXY$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник KLXY является параллелограммом, мы воспользуемся одним из признаков параллелограмма: если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

1. Рассмотрим параллелограмм MNLK. По определению и свойствам параллелограмма его противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, сторона LK параллельна стороне MN и равна ей по длине. Это можно записать следующим образом:
$LK \parallel MN$ и $LK = MN$.

2. Теперь рассмотрим второй параллелограмм, MNXY. Аналогично первому случаю, его противоположные стороны YX и MN равны и параллельны:
$YX \parallel MN$ и $YX = MN$.

3. Сопоставим полученные результаты для сторон LK и YX.
Из первого пункта мы знаем, что $LK \parallel MN$. Из второго — что $YX \parallel MN$. Согласно свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), получаем, что $LK \parallel YX$.
Также из первого пункта мы знаем, что $LK = MN$, а из второго — что $YX = MN$. По свойству транзитивности для равенства длин отрезков, получаем, что $LK = YX$.

4. Мы установили, что в четырёхугольнике KLXY две противоположные стороны (LK и YX) одновременно равны по длине и параллельны.

5. Применяя признак параллелограмма, мы можем заключить, что четырёхугольник KLXY является параллелограммом. То, что точки K, L, X и Y лежат в одной плоскости, следует из того, что мы получили две параллельные прямые LK и YX, которые однозначно задают плоскость.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник KLXY является параллелограммом, так как его противоположные стороны LK и YX равны и параллельны, поскольку каждая из них равна и параллельна общему отрезку MN.