Номер 193, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

193*. На ребре $M_1L_1$ прямоугольного параллелепипеда $MNKLM_1N_1K_1L_1$ выбрана такая точка $Q$, что $M_1Q : QL_1 = 3 : 2$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $Q$ и параллельной плоскости $MN_1K$, и найдите его площадь, учитывая, что площадь треугольника $MN_1K$ равна $200 \text{ см}^2$.

Обозначим плоскость сечения как $\beta$, а плоскость треугольника $MN_1K$ как $\alpha$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через точку $Q$ и параллельна плоскости $\alpha$.

Построение сечения.

Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с гранью $M_1N_1K_1L_1$ (верхняя грань).
Плоскость $\alpha = (MN_1K)$ пересекает плоскость основания $MNKL$ по прямой $MK$. Так как плоскость верхней грани параллельна плоскости основания, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью верхней грани должна быть параллельна прямой $MK$. Эта линия проходит через точку $N_1$, которая принадлежит и плоскости $\alpha$, и верхней грани. Прямая $M_1K_1$ также параллельна $MK$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость верхней грани по прямой, проходящей через $N_1$ и параллельной $M_1K_1$.
Так как $\beta \parallel \alpha$, то линия пересечения плоскости $\beta$ с верхней гранью должна быть параллельна линии пересечения $\alpha$ с этой же гранью. Значит, сечение $\beta$ пересекает верхнюю грань по прямой, проходящей через точку $Q$ и параллельной $M_1K_1$.
Проведем в плоскости $M_1N_1K_1L_1$ через точку $Q$ прямую, параллельную $M_1K_1$. Эта прямая пересечет ребро $L_1K_1$ в некоторой точке $S$. Отрезок $QS$ — одна из сторон искомого сечения.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с гранью $LKK_1L_1$ (правая боковая грань).
Плоскость $\alpha$ пересекает грань $MNN_1M_1$ по прямой $MN_1$. Правая боковая грань $LKK_1L_1$ параллельна грани $MNN_1M_1$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $LKK_1L_1$ — это прямая, проходящая через точку $K$ и параллельная $MN_1$.
Поскольку $\beta \parallel \alpha$, линия пересечения $\beta$ с гранью $LKK_1L_1$ должна быть параллельна $MN_1$. Эта линия проходит через точку $S$, найденную в предыдущем шаге. Проведем в плоскости $LKK_1L_1$ через точку $S$ прямую, параллельную $MN_1$. Эта прямая пересечет ребро $LL_1$ в некоторой точке $T$. Отрезок $ST$ — вторая сторона сечения.

3. Точки $Q$ и $T$ лежат в плоскости левой боковой грани $MLL_1M_1$. Соединив их, получим третью сторону сечения — отрезок $QT$. Можно проверить, что $QT$ параллельна $N_1K$.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник $QST$.

Нахождение площади сечения.

Мы построили сечение $\triangle QST$ таким образом, что его стороны параллельны сторонам $\triangle MN_1K$: $QS \parallel MK$, $ST \parallel MN_1$, $TQ \parallel KN_1$. Следовательно, треугольники $QST$ и $MN_1K$ подобны.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия $k$: $S_{QST} = k^2 \cdot S_{MN_1K}$.

Найдем коэффициент подобия. Для этого определим точное положение точек $S$ и $T$.

Рассмотрим верхнюю грань $M_1N_1K_1L_1$. В $\triangle L_1M_1K_1$ отрезок $QS$ параллелен стороне $M_1K_1$. Следовательно, $\triangle L_1QS \sim \triangle L_1M_1K_1$. Из этого подобия следует: $\frac{L_1S}{L_1K_1} = \frac{L_1Q}{L_1M_1}$. По условию $M_1Q : QL_1 = 3 : 2$, значит $\frac{M_1Q}{M_1L_1} = \frac{3}{5}$ и $\frac{L_1Q}{M_1L_1} = \frac{2}{5}$. Тогда $\frac{L_1S}{L_1K_1} = \frac{2}{5}$.

Теперь рассмотрим грань $LKK_1L_1$. В ней $ST \parallel MN_1$. Чтобы найти отношение сторон, введем систему координат с началом в точке $L$ и осями $LK$, $LL_1$, $LM$. Пусть $LK=a, LL_1=c, LM=b$. Тогда $K_1=(a,c,0), L_1=(0,c,0)$. Точка $S$ делит $L_1K_1$ в отношении $2:3$, считая от $L_1$, значит $S = (\frac{2}{5}a, c, 0)$. Вектор $\vec{MN_1}$ в этой системе координат будет иметь координаты, соответствующие вектору от $M(-b,0,0)$ до $N_1(-b,c,a)$, то есть $\vec{MN_1} = (0, c, a)$. Прямая $ST$ параллельна $\vec{MN_1}$. Вектор $\vec{ST}$ будет иметь вид $(0, y_T-c, z_T-0)$ и должен быть коллинеарен вектору $(0, c, a)$. Точка $T$ лежит на ребре $LL_1$, поэтому ее координаты $T=(0, y_T, 0)$, где $0 \le y_T \le c$. Вектор $\vec{ST} = (0 - \frac{2}{5}a, y_T-c, 0 - 0) = (-\frac{2}{5}a, y_T-c, 0)$. Здесь произошла ошибка в рассуждениях. Давайте воспользуемся подобием в 3D.

Сечение $\triangle QST$ является образом $\triangle MN_1K$ при гомотетии (центральном подобии). Найдем коэффициент гомотетии $k$. $k = \frac{|\vec{ST}|}{|\vec{MN_1}|}$. Пусть $M$ — начало координат $(0,0,0)$, $MN$ вдоль оси Ox, $ML$ вдоль Oy, $MM_1$ вдоль Oz. Тогда $M(0,0,0)$, $N(a,0,0)$, $L(0,b,0)$, $K(a,b,0)$, $M_1(0,0,c)$, $N_1(a,0,c)$, $L_1(0,b,c)$, $K_1(a,b,c)$. $Q$ на $M_1L_1$ делит его в отношении $3:2$: $Q = \frac{2}{5}M_1 + \frac{3}{5}L_1 = (0, \frac{3}{5}b, c)$. $S$ на $L_1K_1$ с отношением $\frac{L_1S}{L_1K_1}=\frac{2}{5}$: $S = \frac{3}{5}L_1 + \frac{2}{5}K_1 = (\frac{2}{5}a, b, c)$. $T$ на $LL_1$. Вектор $\vec{QT}$ параллелен $\vec{N_1K} = (a-a, b-0, 0-c) = (0, b, -c)$. Прямая через $Q$ с направляющим вектором $(0, b, -c)$ имеет уравнение $P(t) = (0, \frac{3}{5}b+tb, c-tc)$. Пересечение с плоскостью $y=b$ (грань $LKK_1L_1$): $\frac{3}{5}b+tb=b \implies t=2/5$. Точка $T$ на ребре $LL_1$ имеет $y=b$, $x=0$, $z=c-c(2/5)=\frac{3}{5}c$. Итак, $T=(0, b, \frac{3}{5}c)$.

Теперь найдем длины векторов $\vec{ST}$ и $\vec{MN_1}$. $\vec{S} = (\frac{2}{5}a, b, c)$, $\vec{T} = (0, b, \frac{3}{5}c)$. $\vec{ST} = \vec{T} - \vec{S} = (-\frac{2}{5}a, 0, -\frac{2}{5}c)$. $\vec{M} = (0,0,0)$, $\vec{N_1} = (a,0,c)$. $\vec{MN_1} = (a,0,c)$. Видно, что $\vec{ST} = -\frac{2}{5}\vec{MN_1}$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон: $k = \frac{|\vec{ST}|}{|\vec{MN_1}|} = \frac{|-\frac{2}{5}(a,0,c)|}{|(a,0,c)|} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей равно $k^2$: $\frac{S_{QST}}{S_{MN_1K}} = k^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.

Площадь треугольника $MN_1K$ дана и равна 200 см². $S_{QST} = \frac{4}{25} \cdot S_{MN_1K} = \frac{4}{25} \cdot 200 = 4 \cdot \frac{200}{25} = 4 \cdot 8 = 32$ см².

Ответ: Площадь сечения равна 32 см².