Номер 217, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

217. Через концы $M$ и $N$ отрезка, пересекающего плоскость $\gamma$ в точке $A$, проведены прямые $c$ и $d$. Эти прямые перпендикулярны плоскости $\gamma$ и пересекают её в точках $M_1$ и $N_1$ соответственно (рис. 235). Докажите, что точки $M_1$, $N_1$ и $A$ лежат на одной прямой, и найдите отрезок $MN$, учитывая, что $MM_1 = 24$ см, $NN_1 = 8$ см, $AN_1 = 6$ см.

Рис. 235

Докажите, что точки M₁, N₁ и A лежат на одной прямой

По условию задачи, прямые c и d перпендикулярны плоскости γ. Из теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости, следует, что эти прямые параллельны друг другу: $c \parallel d$.

Две параллельные прямые c и d определяют единственную плоскость, назовем ее β. Так как прямая c проходит через точки M и M₁, а прямая d проходит через точки N и N₁, все эти четыре точки (M, M₁, N, N₁) лежат в плоскости β.

Отрезок MN соединяет точки M и N, которые лежат в плоскости β, следовательно, весь отрезок MN также лежит в плоскости β. Точка A принадлежит отрезку MN, значит, точка A также лежит в плоскости β.

Таким образом, точки M₁, N₁ и A одновременно принадлежат двум плоскостям:
1. Плоскости γ (по условию, M₁ и N₁ — точки пересечения прямых с плоскостью γ, а A — точка пересечения отрезка MN с плоскостью γ).
2. Плоскости β (как было доказано выше).

Пересечением двух различных плоскостей является прямая. Поскольку все три точки M₁, N₁ и A принадлежат обеим плоскостям, они должны лежать на линии их пересечения, то есть на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

найдите отрезок MN, учитывая, что MM₁ = 24 см, NN₁ = 8 см, AN₁ = 6 см

Рассмотрим треугольники $\triangle MM_1A$ и $\triangle NN_1A$.
Поскольку прямые c и d перпендикулярны плоскости γ, они перпендикулярны любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MM_1 \perp M_1N_1$ и $NN_1 \perp M_1N_1$. Следовательно, углы $\angle MM_1A$ и $\angle NN_1A$ являются прямыми: $\angle MM_1A = \angle NN_1A = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle MM_1A$ и $\triangle NN_1A$ — прямоугольные треугольники.

Углы $\angle M_1AM$ и $\angle N_1AN$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $MN$ и $M_1N_1$. Следовательно, $\angle M_1AM = \angle N_1AN$.

Поскольку у треугольников $\triangle MM_1A$ и $\triangle NN_1A$ есть по два равных угла (прямой угол и пара вертикальных углов), они подобны по первому признаку подобия (по двум углам): $\triangle MM_1A \sim \triangle NN_1A$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{MM_1}{NN_1} = \frac{AM_1}{AN_1} = \frac{MA}{NA} $

Подставим известные значения в первую часть пропорции, чтобы найти длину отрезка $AM_1$: $ \frac{24}{8} = \frac{AM_1}{6} $
$ 3 = \frac{AM_1}{6} $
$ AM_1 = 3 \cdot 6 = 18 $ см.

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем длины гипотенуз $MA$ и $NA$ в прямоугольных треугольниках $\triangle MM_1A$ и $\triangle NN_1A$.
Для $\triangle MM_1A$: $ MA = \sqrt{MM_1^2 + AM_1^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 $ см.
Для $\triangle NN_1A$: $ NA = \sqrt{NN_1^2 + AN_1^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 $ см.

Длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $MA$ и $NA$, так как точка $A$ лежит между $M$ и $N$: $ MN = MA + NA = 30 + 10 = 40 $ см.

Ответ: 40 см.