Номер 213, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

213. На рёбрах $F_1G_1$ и $FF_1$ прямоугольного параллелепипеда $EFGHE_1F_1G_1H_1$ выбраны точки $A$ и $B$ (рис. 233). Определите, перпендикулярны ли:

а) прямая $FG$ и плоскость $EE_1F_1$;

б) прямые $AB$ и $GH$;

в) прямые $F_1G$ и $EF$.

а) прямая $FG$ и плоскость $EE_1F_1$

По определению прямоугольного параллелепипеда, его грани являются прямоугольниками, а ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.

Рассмотрим грань $EFGH$. Так как это прямоугольник, то смежные стороны перпендикулярны: $FG \perp EF$.

Рассмотрим грань $FGF_1G_1$. Так как это прямоугольник, то смежные стороны перпендикулярны: $FG \perp FF_1$.

Плоскость $EE_1F_1$ (также известная как грань $EFF_1E_1$) содержит прямые $EF$ и $FF_1$. Эти прямые пересекаются в точке $F$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Поскольку прямая $FG$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($EF$ и $FF_1$) в плоскости $EE_1F_1$, то прямая $FG$ перпендикулярна плоскости $EE_1F_1$.

Ответ: да, перпендикулярны.

б) прямые $AB$ и $GH$

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра параллельны. Следовательно, ребро $GH$ параллельно ребру $EF$ ($GH \parallel EF$).

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $GH$ равен углу между прямыми $AB$ и $EF$.

Точка $A$ лежит на ребре $F_1G_1$, а точка $B$ — на ребре $FF_1$. Оба эти ребра принадлежат грани $FGF_1G_1$. Следовательно, вся прямая $AB$ лежит в плоскости этой грани ($AB \subset FGF_1G_1$).

Ребро $EF$ перпендикулярно грани $FGF_1G_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $EF \perp FG$ и $EF \perp FF_1$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $EF \perp (FGF_1G_1)$ и $AB \subset (FGF_1G_1)$, то $EF \perp AB$.

Поскольку $GH \parallel EF$ и $EF \perp AB$, то из этого следует, что $GH \perp AB$.

Ответ: да, перпендикулярны.

в) прямые $F_1G$ и $EF$

Прямая $F_1G$ является диагональю грани $FGF_1G_1$, поэтому она целиком лежит в плоскости этой грани ($F_1G \subset FGF_1G_1$).

Как было показано в пункте б), ребро $EF$ перпендикулярно плоскости грани $FGF_1G_1$, так как $EF \perp FG$ и $EF \perp FF_1$.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Следовательно, так как $EF \perp (FGF_1G_1)$ и прямая $F_1G$ лежит в этой плоскости, то $EF \perp F_1G$.

Ответ: да, перпендикулярны.