Номер 11, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Прямая $FA$ перпендикулярна плоскости $BCF$, и точка $F$ – середина отрезка $AD$. Верно ли, что:

а) $AB = DB$;

б) если $BF = FC$, то $AB = AC$;

в) если $AB = DC$, то $BF = FC$?

а) Верно ли, что $AB = DB$?

По условию прямая $FA$ перпендикулярна плоскости $BCF$. Это означает, что $FA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $FA \perp FB$. Следовательно, треугольник $FAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$. По теореме Пифагора для $\triangle FAB$ имеем: $AB^2 = FA^2 + FB^2$.

Точка $F$ является серединой отрезка $AD$, значит, $FA = FD$.

Поскольку прямая $AD$ содержит отрезок $FA$, который перпендикулярен плоскости $BCF$, то вся прямая $AD$ перпендикулярна этой плоскости. Отсюда следует, что отрезок $FD$ также перпендикулярен плоскости $BCF$, и, в частности, $FD \perp FB$. Таким образом, треугольник $FDB$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$. По теореме Пифагора для $\triangle FDB$: $DB^2 = FD^2 + FB^2$.

Сравним полученные выражения для $AB^2$ и $DB^2$. Так как $FA = FD$, то $FA^2 = FD^2$. Подставляя это в первое уравнение, получаем: $AB^2 = FD^2 + FB^2$. Это совпадает с выражением для $DB^2$. Следовательно, $AB^2 = DB^2$, а так как длины отрезков — положительные величины, то $AB = DB$.

Ответ: Да, верно.

б) если $BF = FC$, то $AB = AC$?

Предположим, что $BF = FC$.

Как было установлено в пункте а), $\triangle FAB$ — прямоугольный, и по теореме Пифагора $AB^2 = FA^2 + FB^2$.

Так как $FA \perp$ плоскости $BCF$, то $FA \perp FC$. Следовательно, $\triangle FAC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $F$. По теореме Пифагора для $\triangle FAC$: $AC^2 = FA^2 + FC^2$.

По условию данного пункта $BF = FC$, из чего следует, что $BF^2 = FC^2$. Сравнивая выражения для $AB^2$ и $AC^2$: $AB^2 = FA^2 + FB^2$ $AC^2 = FA^2 + FC^2$ Поскольку $FB^2 = FC^2$, правые части этих равенств равны. Значит, $AB^2 = AC^2$, и, следовательно, $AB = AC$.

Ответ: Да, верно.

в) если $AB = DC$, то $BF = FC$?

Предположим, что $AB = DC$.

Из решения пункта а) мы знаем, что $AB^2 = FA^2 + FB^2$.

Так как прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BCF$, то $FD \perp FC$. Следовательно, $\triangle FDC$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $F$. По теореме Пифагора для $\triangle FDC$: $DC^2 = FD^2 + FC^2$.

По условию данного пункта $AB = DC$, значит, $AB^2 = DC^2$. Приравняем правые части выражений для квадратов длин: $FA^2 + FB^2 = FD^2 + FC^2$.

По основному условию задачи $F$ — середина $AD$, поэтому $FA = FD$, и $FA^2 = FD^2$. Мы можем вычесть равные слагаемые $FA^2$ и $FD^2$ из обеих частей равенства: $FB^2 = FC^2$.

Так как длины отрезков — положительные величины, отсюда следует, что $BF = FC$.

Ответ: Да, верно.