Номер 4, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости.

Этот признак является ключевым в стереометрии, так как он позволяет сделать вывод о перпендикулярности прямой ко всей плоскости, проверив ее перпендикулярность лишь двум прямым в этой плоскости. Условие пересечения этих двух прямых является обязательным.

Формально условие признака можно записать так: если даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$, и в плоскости $\alpha$ существуют две прямые $b$ и $c$ такие, что:

1. $b \subset \alpha$ и $c \subset \alpha$,

2. $b \cap c = O$ (прямые пересекаются),

3. $a \perp b$ и $a \perp c$,

то из этого следует, что $a \perp \alpha$.

Доказательство теоремы:

Пусть прямая $a$ перпендикулярна двум прямым $b$ и $c$, которые лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $O$. Докажем, что прямая $a$ перпендикулярна любой другой прямой $m$, лежащей в плоскости $\alpha$. Это будет означать, что $a \perp \alpha$.

Для удобства доказательства рассмотрим случай, когда прямая $a$ проходит через точку пересечения $O$. (Если $a$ не проходит через $O$, можно рассмотреть параллельную ей прямую $a'$, проходящую через $O$. Если будет доказано, что $a' \perp \alpha$, то и $a \perp \alpha$ по свойству перпендикулярности параллельных прямых к плоскости).

Шаг 1. На прямой $a$ отложим от точки $O$ в разные стороны два равных отрезка $OA_1$ и $OA_2$. Таким образом, точка $O$ — середина отрезка $A_1A_2$.

Шаг 2. Возьмем в плоскости $\alpha$ произвольную прямую $m$, проходящую через точку $O$. Проведем в плоскости $\alpha$ еще одну вспомогательную прямую (не проходящую через $O$), которая пересечет прямые $b$, $c$ и $m$ в точках $B$, $C$ и $M$ соответственно.

Шаг 3. Рассмотрим $\triangle A_1BA_2$. Так как по условию $a \perp b$, то $OB \perp A_1A_2$. Поскольку $O$ — середина $A_1A_2$, отрезок $OB$ является медианой и высотой в $\triangle A_1BA_2$. Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и $A_1B = A_2B$. Аналогично, из условия $a \perp c$ следует, что $\triangle A_1CA_2$ равнобедренный, и $A_1C = A_2C$.

Шаг 4. Теперь сравним треугольники $\triangle A_1BC$ и $\triangle A_2BC$. У них сторона $BC$ общая, $A_1B = A_2B$ и $A_1C = A_2C$ (из предыдущего шага). Значит, $\triangle A_1BC = \triangle A_2BC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Шаг 5. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle A_1BC = \angle A_2BC$.

Шаг 6. Далее, рассмотрим треугольники $\triangle A_1BM$ и $\triangle A_2BM$. У них сторона $BM$ — общая, $A_1B = A_2B$ (из шага 3), и $\angle A_1BM = \angle A_2BM$ (так как это те же углы, что и $\angle A_1BC$ и $\angle A_2BC$). Следовательно, $\triangle A_1BM = \triangle A_2BM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Шаг 7. Из равенства треугольников $\triangle A_1BM$ и $\triangle A_2BM$ следует равенство их сторон: $A_1M = A_2M$.

Шаг 8. Наконец, рассмотрим $\triangle A_1MA_2$. Он является равнобедренным ($A_1M = A_2M$). Отрезок $MO$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $A_1A_2$ (точкой $O$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $MO \perp A_1A_2$.

Шаг 9. Поскольку отрезок $MO$ лежит на прямой $m$, а отрезок $A_1A_2$ — на прямой $a$, мы доказали, что $a \perp m$.

Так как $m$ была выбрана как произвольная прямая в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $O$, то прямая $a$ перпендикулярна любой такой прямой. Если же некоторая прямая $m'$ в плоскости $\alpha$ не проходит через $O$, то проведем через $O$ прямую $m'' \parallel m'$. Мы доказали, что $a \perp m''$. Угол между скрещивающимися прямыми $a$ и $m'$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми $a$ и $m''$, то есть $90^\circ$. Следовательно, $a \perp m'$.

Таким образом, прямая $a$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\alpha$, а это по определению и означает, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Теорема доказана.

Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.