Номер 358, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

358. Докажите, что угол между прямой и плоскостью является наименьшим из углов, которые образует эта прямая со всеми прямыми плоскости, проходящими через точку пересечения прямой с плоскостью.

Пусть дана прямая $l$ и плоскость $\alpha$, которые пересекаются в точке $O$. Углом между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ называется угол $\phi$ между этой прямой и ее проекцией на плоскость $\alpha$. Пусть $m$ — произвольная прямая в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $O$, и пусть $\theta$ — угол между прямыми $l$ и $m$. Нам необходимо доказать, что $\phi \le \theta$.

Доказательство:

1. Выберем на прямой $l$ любую точку $A$, отличную от $O$. Опустим из точки $A$ перпендикуляр $AB$ на плоскость $\alpha$. Точка $B$ лежит в плоскости $\alpha$.

2. По определению, прямая $OB$ является проекцией прямой $l$ (прямой $OA$) на плоскость $\alpha$. Следовательно, угол между прямой $l$ и плоскостью $\alpha$ — это угол $\phi = \angle AOB$. Так как $AB$ — перпендикуляр к плоскости, то треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ABO$.

3. Рассмотрим произвольную прямую $m$, лежащую в плоскости $\alpha$ и проходящую через точку $O$. Угол между прямой $l$ (прямой $OA$) и прямой $m$ равен $\theta$. Чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник $\triangle AOC$, где $C$ — любая точка на прямой $m$, отличная от $O$. Угол $\theta = \angle AOC$. (По определению, угол между прямыми — острый, поэтому мы рассматриваем угол в диапазоне $[0, 90^\circ]$).

4. Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle AOC$: $AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos \theta$ Отсюда выразим $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{OA^2 + OC^2 - AC^2}{2 \cdot OA \cdot OC}$

5. Теперь свяжем стороны этого треугольника с нашим построением. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABС$ (в котором $\angle ABC = 90^\circ$, так как $AB \perp \alpha$, а значит $AB$ перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через $B$) по теореме Пифагора имеем: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ по теореме Пифагора имеем: $AB^2 = OA^2 - OB^2$. Подставим эти выражения в формулу для $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{OA^2 + OC^2 - (OA^2 - OB^2 + BC^2)}{2 \cdot OA \cdot OC} = \frac{OC^2 + OB^2 - BC^2}{2 \cdot OA \cdot OC}$

6. Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$, который целиком лежит в плоскости $\alpha$. Применим к нему теорему косинусов: $BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)$ Подставим выражение для $BC^2$ в нашу формулу для $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{OC^2 + OB^2 - (OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC))}{2 \cdot OA \cdot OC}$ $\cos \theta = \frac{2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)}{2 \cdot OA \cdot OC} = \frac{OB}{OA} \cdot \cos(\angle BOC)$

7. Из прямоугольного треугольника $\triangle AOB$ мы знаем, что $\cos \phi = \frac{OB}{OA}$. Таким образом, мы получили соотношение, известное как теорема о трех косинусах: $\cos \theta = \cos \phi \cdot \cos(\angle BOC)$

8. Угол $\angle BOC$ — это угол между проекцией $OB$ и произвольной прямой $m$. По определению, угол между прямыми находится в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Следовательно, $0 \le \cos(\angle BOC) \le 1$. Поскольку $\cos \theta$ и $\cos \phi$ также неотрицательны, из полученного равенства следует неравенство: $\cos \theta \le \cos \phi$

9. Углы $\theta$ и $\phi$ находятся в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$. На этом интервале функция косинуса является монотонно убывающей. Это означает, что если косинус одного угла не больше косинуса другого, то сам угол не меньше другого. Из $\cos \theta \le \cos \phi$ следует, что $\theta \ge \phi$.

Равенство $\theta = \phi$ достигается тогда и только тогда, когда $\cos(\angle BOC) = 1$, что означает $\angle BOC = 0^\circ$. Это происходит, когда прямая $m$ совпадает с проекцией $OB$. Во всех остальных случаях $\phi < \theta$. Таким образом, мы доказали, что угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые эта прямая образует с прямыми, лежащими в этой плоскости и проходящими через точку их пересечения.

Ответ: Утверждение доказано.