Номер 401, страница 152 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

401. Электрический фонарь подвешен на шнуре $AB$ и удерживается горизонтальной растяжкой $BC$ (рис. 360). Найдите силы, которые действуют на шнур и растяжку, если угол между ними равен $\gamma$, масса фонаря равна $P$.

Рис. 360

Рассмотрим точку B, в которой сходятся все три силы. Фонарь находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех сил, действующих на точку B, равна нулю. На точку B действуют три силы:

1. Сила тяжести фонаря $\vec{P}$, направленная вертикально вниз. В условии задачи указано, что масса фонаря равна P, но в задачах по статике часто буквой P обозначают вес тела (силу тяжести), а не массу. Будем считать, что $P$ — это модуль силы тяжести.
2. Сила натяжения шнура $\vec{T}_{AB}$, направленная вдоль шнура от B к A.
3. Сила натяжения горизонтальной растяжки $\vec{T}_{BC}$, направленная вдоль растяжки от B к C.

Условие равновесия для точки B записывается в виде:

$\vec{T}_{AB} + \vec{T}_{BC} + \vec{P} = 0$

Для решения задачи введем систему координат. Поместим начало координат в точку B, ось Ox направим горизонтально вправо (вдоль растяжки BC), а ось Oy — вертикально вверх.

Найдем проекции сил на оси координат:

• Сила тяжести $\vec{P}$ направлена против оси Oy, поэтому ее проекции: $P_x = 0$, $P_y = -P$.
• Сила натяжения растяжки $\vec{T}_{BC}$ направлена вдоль оси Ox, поэтому ее проекции: $T_{BC,x} = T_{BC}$, $T_{BC,y} = 0$.
• Сила натяжения шнура $\vec{T}_{AB}$ направлена под углом к осям. По условию, угол между шнуром AB и растяжкой BC равен $\gamma$. Так как растяжка BC направлена по оси Ox, то вектор $\vec{T}_{AB}$ составляет угол $\gamma$ с положительным направлением оси Ox. Проекции этой силы на оси: $T_{AB,x} = T_{AB} \cos\gamma$, $T_{AB,y} = T_{AB} \sin\gamma$.

Запишем условие равновесия в проекциях на оси координат. Сумма проекций всех сил на каждую ось должна быть равна нулю:

Проекция на ось Ox: $\sum F_x = T_{AB,x} + T_{BC,x} + P_x = 0$

$T_{AB}\cos\gamma + T_{BC} + 0 = 0$

$T_{BC} = -T_{AB}\cos\gamma$ (1)

Проекция на ось Oy: $\sum F_y = T_{AB,y} + T_{BC,y} + P_y = 0$

$T_{AB}\sin\gamma + 0 - P = 0$

$T_{AB}\sin\gamma = P$ (2)

Теперь решим полученную систему уравнений относительно искомых сил $T_{AB}$ и $T_{BC}$.

Из уравнения (2) выразим силу натяжения шнура $T_{AB}$:

$T_{AB} = \frac{P}{\sin\gamma}$

Подставим это выражение в уравнение (1), чтобы найти силу натяжения растяжки $T_{BC}$:

$T_{BC} = - \left(\frac{P}{\sin\gamma}\right) \cos\gamma = -P \frac{\cos\gamma}{\sin\gamma} = -P \cot\gamma$

Из рисунка видно, что угол $\gamma$ является тупым, то есть $90^\circ < \gamma < 180^\circ$. Для таких углов $\sin\gamma > 0$, а $\cos\gamma < 0$ и $\cot\gamma < 0$. Следовательно, величины сил $T_{AB}$ и $T_{BC}$ будут положительными, что соответствует их физическому смыслу как модулей сил.

Ответ: Сила, действующая на шнур (сила натяжения), равна $T_{AB} = \frac{P}{\sin\gamma}$. Сила, действующая на растяжку (сила натяжения), равна $T_{BC} = -P \cot\gamma$.