Номер 407, страница 153 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

407. Известно, что векторы $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$ коллинеарны. Докажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны.

По условию, векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ являются коллинеарными. Это означает, что один из этих векторов можно выразить через другой путем умножения на некоторое действительное число $k$. То есть, выполняется одно из следующих условий:
1. Существует число $k$ такое, что $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$.
2. Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ является нулевым вектором.

Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ является нулевым вектором.
Если $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$, то это означает, что $\vec{a} = \vec{b}$. В этом случае векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, а следовательно, коллинеарны (коэффициент пропорциональности равен 1). Таким образом, утверждение доказано для этого случая.

Случай 2: Вектор $\vec{a} - \vec{b}$ не является нулевым.
В этом случае, по определению коллинеарности, существует такое число $k$, что выполняется равенство: $\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Преобразуем это равенство, чтобы выразить $\vec{a}$ через $\vec{b}$ или наоборот. Раскроем скобки: $\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$

Сгруппируем члены с вектором $\vec{a}$ в левой части уравнения, а с вектором $\vec{b}$ — в правой: $\vec{a} - k\vec{a} = -k\vec{b} - \vec{b}$ $\vec{a}(1 - k) = \vec{b}(-k - 1)$ $\vec{a}(1 - k) = -(k + 1)\vec{b}$

Теперь проанализируем это равенство для разных значений $k$.

Если $k = 1$, то равенство принимает вид: $\vec{a}(1 - 1) = -(1 + 1)\vec{b}$ $\vec{a} \cdot 0 = -2\vec{b}$ $\vec{0} = -2\vec{b}$, что означает $\vec{b} = \vec{0}$. Если вектор $\vec{b}$ является нулевым, то он по определению коллинеарен любому вектору $\vec{a}$ (поскольку выполняется равенство $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$).

Если $k \neq 1$, то выражение $(1 - k)$ не равно нулю, и мы можем разделить на него обе части равенства: $\vec{a} = \frac{-(k + 1)}{1 - k}\vec{b} = \frac{k + 1}{k - 1}\vec{b}$
Обозначим $m = \frac{k + 1}{k - 1}$. Поскольку $k$ — это действительное число и $k \neq 1$, то $m$ также является действительным числом. Мы получили равенство $\vec{a} = m \vec{b}$, которое по определению означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Таким образом, во всех возможных случаях из коллинеарности векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ следует, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ также коллинеарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.