Номер 415, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

415. Докажите, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 365):

а) проходит через точки пересечения медиан треугольников $A_1BD$ и $B_1CD_1$;

б) плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ разделяют отрезок $AC_1$ на три доли.

Рис. 365

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем начало координат в вершине A и базисные векторы, совпадающие с ребрами параллелепипеда, выходящими из этой вершины: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

В этом базисе вектор, соответствующий диагонали $AC_1$, выражается как сумма базисных векторов: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

а) проходит через точки пересечения медиан треугольников $A_1BD$ и $B_1CD_1$;

Сначала найдем точку пересечения медиан (центроид) треугольника $A_1BD$. Обозначим эту точку $M_1$. Ее радиус-вектор (вектор, проведенный из начала координат A) равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника:

$\vec{AM_1} = \frac{1}{3}(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD})$

Подставляя наши обозначения векторов, получаем:

$\vec{AM_1} = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Сравним полученный вектор $\vec{AM_1}$ с вектором диагонали $\vec{AC_1}$. Мы видим, что $\vec{AM_1} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$. Поскольку вектор $\vec{AM_1}$ коллинеарен вектору $\vec{AC_1}$ и имеет с ним общее начало в точке A, то точка $M_1$ лежит на отрезке $AC_1$.

Теперь найдем точку пересечения медиан $M_2$ треугольника $B_1CD_1$. Для этого сначала выразим радиус-векторы его вершин:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Радиус-вектор точки $M_2$ равен:

$\vec{AM_2} = \frac{1}{3}(\vec{AB_1} + \vec{AC} + \vec{AD_1}) = \frac{1}{3}((\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{b} + \vec{c}))$

$\vec{AM_2} = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c}) = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Сравнивая вектор $\vec{AM_2}$ с вектором диагонали $\vec{AC_1}$, мы видим, что $\vec{AM_2} = \frac{2}{3}\vec{AC_1}$. Это также означает, что точка $M_2$ лежит на отрезке $AC_1$.

Таким образом, мы доказали, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольников $A_1BD$ и $B_1CD_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ разделяют отрезок $AC_1$ на три доли.

В ходе решения пункта а) мы нашли точки $M_1$ и $M_2$, в которых диагональ $AC_1$ пересекает плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ соответственно. Мы установили, что:

$\vec{AM_1} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$

$\vec{AM_2} = \frac{2}{3}\vec{AC_1}$

Из этих векторных равенств следуют соотношения для длин отрезков:

$AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$

$AM_2 = \frac{2}{3}AC_1$

Поскольку $AM_1 < AM_2$, точки на диагонали расположены в последовательности A, $M_1$, $M_2$, $C_1$. Найдем длины отрезков, на которые точки $M_1$ и $M_2$ делят диагональ $AC_1$:

Первый отрезок: $AM_1 = \frac{1}{3}AC_1$.
Второй отрезок: $M_1M_2 = AM_2 - AM_1 = \frac{2}{3}AC_1 - \frac{1}{3}AC_1 = \frac{1}{3}AC_1$.
Третий отрезок: $M_2C_1 = AC_1 - AM_2 = AC_1 - \frac{2}{3}AC_1 = \frac{1}{3}AC_1$.

Так как $AM_1 = M_1M_2 = M_2C_1$, то плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ действительно разделяют отрезок $AC_1$ на три равные части (три доли).

Ответ: Что и требовалось доказать.