Номер 420, страница 154 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

420. Центр куба с ребром $a$ расположен в начале системы координат, а его ребра параллельны координатным осям (рис. 367). Найдите координаты векторов:

а) $\vec{AB}$, $\vec{A_1D_1}$, $\vec{C_1D_1}$, $\vec{DA}$

б) $\vec{AA_1}$, $\vec{C_1D}$, $\vec{D_1B}$, $\vec{B_1C_1}$

в) $\vec{BA_1}$, $\vec{B_1C_1}$, $\vec{AD}$, $\vec{A_1D}$

Рис. 367

Для решения задачи сначала определим координаты вершин куба. По условию, центр куба находится в начале координат $O(0, 0, 0)$, а его ребра, длина которых равна $a$, параллельны осям координат. Это означает, что координаты вершин куба будут состоять из комбинаций значений $\frac{a}{2}$ и $-\frac{a}{2}$ по каждой из осей.

Исходя из стандартного расположения вершин куба относительно осей (согласно нумерации на рисунке 367), определим их координаты:

$A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$
$B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$
$C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$
$D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2})$
$A_1(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$
$B_1(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$
$C_1(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$
$D_1(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$

Координаты вектора $\overrightarrow{MN}$ с началом в точке $M(x_M, y_M, z_M)$ и концом в точке $N(x_N, y_N, z_N)$ вычисляются по формуле: $\overrightarrow{MN} = \{x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M\}$.

а) Найдем координаты векторов $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A_1D_1}$, $\overrightarrow{C_1D_1}$, $\overrightarrow{DA}$.

$\overrightarrow{AB} = \{\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2})\} = \{a; 0; 0\}$

$\overrightarrow{A_1D_1} = \{-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{0; a; 0\}$

$\overrightarrow{C_1D_1} = \{-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{-a; 0; 0\}$

$\overrightarrow{DA} = \{-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; -\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2})\} = \{0; -a; 0\}$

Ответ: $\overrightarrow{AB}\{a; 0; 0\}$, $\overrightarrow{A_1D_1}\{0; a; 0\}$, $\overrightarrow{C_1D_1}\{-a; 0; 0\}$, $\overrightarrow{DA}\{0; -a; 0\}$.

б) Найдем координаты векторов $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{C_1D}$, $\overrightarrow{D_1B}$, $\overrightarrow{B_1C_1}$.

$\overrightarrow{AA_1} = \{-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2})\} = \{0; 0; a\}$

$\overrightarrow{C_1D} = \{-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; \frac{a}{2} - \frac{a}{2}; -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{-a; 0; -a\}$

$\overrightarrow{D_1B} = \{\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{a; -a; -a\}$

$\overrightarrow{B_1C_1} = \{\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{0; a; 0\}$

Ответ: $\overrightarrow{AA_1}\{0; 0; a\}$, $\overrightarrow{C_1D}\{-a; 0; -a\}$, $\overrightarrow{D_1B}\{a; -a; -a\}$, $\overrightarrow{B_1C_1}\{0; a; 0\}$.

в) Найдем координаты векторов $\overrightarrow{BA_1}$, $\overrightarrow{B_1C_1}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A_1D}$.

$\overrightarrow{BA_1} = \{-\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; -\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2})\} = \{-a; 0; a\}$

$\overrightarrow{B_1C_1} = \{\frac{a}{2} - \frac{a}{2}; \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{0; a; 0\}$

$\overrightarrow{AD} = \{-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2})\} = \{0; a; 0\}$

$\overrightarrow{A_1D} = \{-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}); -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}\} = \{0; a; -a\}$

Ответ: $\overrightarrow{BA_1}\{-a; 0; a\}$, $\overrightarrow{B_1C_1}\{0; a; 0\}$, $\overrightarrow{AD}\{0; a; 0\}$, $\overrightarrow{A_1D}\{0; a; -a\}$.