Номер 425, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

425. Четыре вершины призмы $ABCA_1B_1C_1$ расположены в точках $A(2; 0; 1)$, $B(0; 1; 2)$, $A_1(4; 3; 6)$, $C_1(3; 2; -3)$. Найдите координаты точек $C$ и $B_1$.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Этот общий вектор является вектором параллельного переноса, который отображает основание $ABC$ на основание $A_1B_1C_1$.

Сначала найдем координаты этого вектора, используя известные координаты точек $A(2; 0; 1)$ и $A_1(4; 3; 6)$.

$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4 - 2; 3 - 0; 6 - 1) = (2; 3; 5)$.

Теперь, зная вектор переноса, мы можем найти координаты искомых вершин.

Координаты точки C

Для нахождения координат точки $C$ используем равенство $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$. Точка $C$ является началом вектора, а точка $C_1(3; 2; -3)$ — его концом. Координаты начальной точки можно найти, вычтя из координат конечной точки координаты вектора переноса.

Координаты точки $C$ вычисляются по формуле $C = C_1 - \vec{AA_1}$:

$C = (3; 2; -3) - (2; 3; 5) = (3 - 2; 2 - 3; -3 - 5) = (1; -1; -8)$.

Таким образом, координаты точки $C$ равны $(1; -1; -8)$.

Ответ: $C(1; -1; -8)$.

Координаты точки B₁

Аналогично, для нахождения координат точки $B_1$ используем равенство $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$. Точка $B(0; 1; 2)$ является началом вектора, а точка $B_1$ — его концом. Координаты конечной точки можно найти, прибавив к координатам начальной точки координаты вектора переноса.

Координаты точки $B_1$ вычисляются по формуле $B_1 = B + \vec{AA_1}$:

$B_1 = (0; 1; 2) + (2; 3; 5) = (0 + 2; 1 + 3; 2 + 5) = (2; 4; 7)$.

Таким образом, координаты точки $B_1$ равны $(2; 4; 7)$.

Ответ: $B_1(2; 4; 7)$.