Номер 431, страница 155 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

431. Установите, компланарны ли векторы:

a) $\vec{a}(2; 6; 3)$, $\vec{b}(1; 3; -1)$ и $\vec{c}(0; 0; 2)$;

б) $\vec{m}(1; 3; 0)$, $\vec{n}(2; 6; 5)$ и $\vec{k}(2; 3; -1)$.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Смешанное произведение векторов $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$, $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ и $\vec{w}(x_3; y_3; z_3)$ вычисляется как определитель матрицы, составленной из их координат:

$(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}$

Если определитель равен нулю, векторы компланарны. Если определитель не равен нулю, векторы не компланарны.

а) Проверим компланарность векторов $\vec{a}(2; 6; 3)$, $\vec{b}(1; 3; -1)$ и $\vec{c}(0; 0; 2)$.

Составим матрицу из координат этих векторов и вычислим ее определитель (смешанное произведение):

$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 6 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

Для вычисления определителя удобно использовать разложение по третьей строке, так как она содержит два нулевых элемента:

$\Delta = 0 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot (2 \cdot 3 - 6 \cdot 1) = 2 \cdot (6 - 6) = 2 \cdot 0 = 0$

Поскольку смешанное произведение векторов равно нулю, векторы являются компланарными.

Ответ: векторы компланарны.

б) Проверим компланарность векторов $\vec{m}(1; 3; 0)$, $\vec{n}(2; 6; 5)$ и $\vec{k}(2; 3; -1)$.

Составим матрицу из координат этих векторов и вычислим ее определитель:

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 6 & 5 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$

Вычислим определитель по правилу Сарруса (правилу треугольника):

$\Delta = (1 \cdot 6 \cdot (-1)) + (3 \cdot 5 \cdot 2) + (0 \cdot 2 \cdot 3) - (0 \cdot 6 \cdot 2) - (1 \cdot 5 \cdot 3) - (3 \cdot 2 \cdot (-1))$

$\Delta = -6 + 30 + 0 - 0 - 15 - (-6) = -6 + 30 - 15 + 6 = 15$

Поскольку смешанное произведение векторов $\Delta = 15 \neq 0$, векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не компланарны.