Номер 443, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

443. Докажите, что площадь пространственного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}\sqrt{\vec{AB}^2 \cdot \vec{AC}^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2}$. Как использовать этот факт для того, чтобы найти расстояние от точки C до прямой AB?

Докажите, что площадь пространственного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}\sqrt{\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}$

Классическая формула для площади треугольника $ABC$ через две стороны и угол между ними имеет вид: $S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin(\alpha)$, где $|\overline{AB}|$ и $|\overline{AC}|$ — длины сторон, а $\alpha$ — угол между векторами $\overline{AB}$ и $\overline{AC}$.

Из определения скалярного произведения векторов мы знаем, что $\overline{AB} \cdot \overline{AC} = |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cos(\alpha)$. Также учтем, что квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату: $|\overline{AB}|^2 = \overline{AB}^2$ и $|\overline{AC}|^2 = \overline{AC}^2$.

Рассмотрим выражение под корнем в доказываемой формуле и преобразуем его:

$\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2 = |\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 - (|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \cos(\alpha))^2$

Вынесем общие множители $|\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2$ за скобки:

$= |\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 (1 - \cos^2(\alpha))$

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $1 - \cos^2(\alpha) = \sin^2(\alpha)$. Подставим это в наше выражение:

$= |\overline{AB}|^2 \cdot |\overline{AC}|^2 \sin^2(\alpha) = (|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin(\alpha))^2$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходную формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}\sqrt{(|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin(\alpha))^2}$

Так как длины векторов и синус угла в треугольнике (угол от $0^\circ$ до $180^\circ$) являются неотрицательными величинами, корень из квадрата выражения равен самому выражению:

$S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin(\alpha)$

Мы получили стандартную геометрическую формулу площади треугольника, что и доказывает справедливость исходной формулы.

Ответ: Доказательство сводится к преобразованию подкоренного выражения $\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2$ с использованием определения скалярного произведения и основного тригонометрического тождества, в результате чего оно становится равным $(|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin(\alpha))^2$. Подстановка этого в исходную формулу приводит к известной формуле площади треугольника $S = \frac{1}{2} |\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}| \sin(\alpha)$, что подтверждает ее верность.

Как использовать этот факт для того, чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ?

Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ — это длина высоты $h_c$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$ в треугольнике $ABC$. Площадь этого треугольника можно найти по формуле, связывающей основание и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot |\overline{AB}| \cdot h_c$, где $|\overline{AB}|$ — длина основания $AB$.

Из этой формулы можно выразить искомую высоту $h_c$: $h_c = \frac{2S}{|\overline{AB}|}$.

Следовательно, для нахождения расстояния нужно сначала вычислить площадь треугольника $S$ по доказанной векторной формуле $S = \frac{1}{2}\sqrt{\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}$. Затем необходимо вычислить длину стороны $AB$ как модуль вектора $|\overline{AB}| = \sqrt{\overline{AB}^2}$. Наконец, подставив найденные значения $S$ и $|\overline{AB}|$ в формулу для высоты $h_c = \frac{2S}{|\overline{AB}|}$, мы получим искомое расстояние.

Если объединить все в одну формулу, то расстояние от точки C до прямой AB выражается как:

$h_c = \frac{\sqrt{\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}}{|\overline{AB}|}$

Ответ: Для нахождения расстояния от точки $C$ до прямой $AB$ необходимо вычислить площадь треугольника $ABC$ по формуле $S = \frac{1}{2}\sqrt{\overline{AB}^2 \cdot \overline{AC}^2 - (\overline{AB} \cdot \overline{AC})^2}$, затем найти длину стороны $AB$ по формуле $|\overline{AB}| = \sqrt{\overline{AB}^2}$ и, наконец, вычислить искомое расстояние (высоту $h_c$) по формуле $h_c = \frac{2S}{|\overline{AB}|}$.