Номер 450, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

450. Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D пространства истинно равенство $ \vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} = \vec{AC} \cdot \vec{BD} $.

Для доказательства данного тождества выберем одну из точек, например A, в качестве начала отсчета и выразим все векторы, участвующие в равенстве, через векторы, выходящие из этой точки. Пусть $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AD}$.

Используя правило вычитания векторов (правило треугольника), выразим остальные векторы через $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{a}$

Теперь подставим эти выражения в левую и правую части исходного равенства $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} = \vec{AC} \cdot \vec{BD}$ и преобразуем их по отдельности.

Левая часть равенства:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} = \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{c}$

Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения векторов:

$(\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c})$

Сгруппируем члены:

$\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c}$

Приведем подобные члены (слагаемые $\vec{a} \cdot \vec{c}$ и $-\vec{a} \cdot \vec{c}$ взаимно уничтожаются):

$\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}$

Правая часть равенства:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$

Раскроем скобки:

$\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$

Сравним полученные выражения для левой и правой частей. Левая часть равна $\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}$, а правая часть равна $\vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Так как скалярное произведение коммутативно (то есть, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), то полученные выражения для левой и правой частей тождественно равны.

Следовательно, равенство $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} = \vec{AC} \cdot \vec{BD}$ является истинным для любых четырех точек пространства A, B, C, D, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.