Номер 6, страница 168 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Объясните, как можно находить расстояние между двумя параллельными прямыми.

Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую. Поскольку прямые параллельны, это расстояние постоянно, какую бы точку на первой прямой мы ни выбрали. Рассмотрим два основных способа нахождения этого расстояния.

Этот способ основан непосредственно на определении расстояния и выполняется с помощью геометрических построений. Он состоит из следующих шагов:

1. На одной из параллельных прямых (назовем ее a) выбирается произвольная точка M.
2. Через точку M проводится прямая c, перпендикулярная второй прямой (назовем ее b). Так как прямые a и b параллельны, то прямая c будет перпендикулярна и прямой a.
3. Находится точка пересечения N прямой c и прямой b.
4. Длина полученного отрезка MN и является расстоянием между параллельными прямыми a и b.

Ответ: Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра, заключенного между этими прямыми.

Этот способ применяется, когда прямые заданы своими уравнениями в декартовой системе координат. Он является практической реализацией геометрического метода.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Их уравнения можно привести к виду, где коэффициенты при $x$ и $y$ одинаковы:

$l_1: Ax + By + C_1 = 0$

$l_2: Ax + By + C_2 = 0$

Если в исходных уравнениях коэффициенты при $x$ и $y$ пропорциональны, необходимо одно из уравнений умножить на соответствующий коэффициент, чтобы они стали равными.

Далее можно действовать по алгоритму:

1. Найти координаты любой точки $M(x_0, y_0)$, лежащей на одной из прямых, например, на $l_1$. Для этого нужно найти любое частное решение уравнения $Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$. Проще всего, если возможно, положить одну из координат равной нулю. Например, если $B \neq 0$, можно взять $x_0 = 0$, тогда из уравнения $B y_0 + C_1 = 0$ получим $y_0 = -C_1/B$. Таким образом, точка $M(0, -C_1/B)$ лежит на прямой $l_1$.
2. Найти расстояние от точки $M(x_0, y_0)$ до второй прямой $l_2$, используя формулу расстояния от точки до прямой:
   $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Выполнив подстановку, можно вывести универсальную формулу. Так как точка $M(x_0, y_0)$ принадлежит прямой $l_1$, для нее выполняется равенство $Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$, откуда следует, что $Ax_0 + By_0 = -C_1$. Подставим это выражение в формулу расстояния:

$d = \frac{|(-C_1) + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Эта формула позволяет находить расстояние между параллельными прямыми, зная только их коэффициенты.

Ответ: Если параллельные прямые заданы уравнениями $Ax + By + C_1 = 0$ и $Ax + By + C_2 = 0$, то расстояние $d$ между ними вычисляется по формуле $d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.