Номер 56, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

56. Выберите точки $A$ и $B$ соответственно на рёбрах $MX$ и $MY$ четырёхугольной пирамиды $MXYZV$, а точку $C$ — на луче $YZ$ за точкой $Z$. Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости $ABC$ и $XYZ$.

Для построения прямой, по которой пересекаются две плоскости, необходимо найти две их общие точки. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой прямой пересечения.

В нашем случае мы ищем прямую пересечения плоскости $ABC$ и плоскости основания пирамиды $XYZ$.

1. Нахождение первой общей точки.

По условию, точка $C$ лежит на луче $YZ$ за точкой $Z$. Луч $YZ$ является частью прямой $YZ$, которая целиком лежит в плоскости основания $XYZ$. Следовательно, точка $C$ принадлежит плоскости $XYZ$.
По определению секущей плоскости $ABC$, точка $C$ также принадлежит и этой плоскости.
Таким образом, точка $C$ является первой общей точкой плоскостей $ABC$ и $XYZ$.

2. Нахождение второй общей точки.

Рассмотрим прямую $AB$. Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $ABC$, то и вся прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$.
Теперь рассмотрим плоскость боковой грани $MXY$. По условию, точка $A$ лежит на ребре $MX$ ($A \in MX$), а точка $B$ — на ребре $MY$ ($B \in MY$). Оба ребра $MX$ и $MY$ лежат в плоскости грани $MXY$, следовательно, прямая $AB$ также целиком лежит в плоскости $MXY$.
Чтобы найти вторую общую точку плоскостей $ABC$ и $XYZ$, найдем точку пересечения прямой $AB$ (которая, как мы выяснили, лежит в плоскости $ABC$) с плоскостью основания $XYZ$.
Точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $XYZ$ должна лежать на линии пересечения плоскости $MXY$ (в которой лежит прямая $AB$) и плоскости $XYZ$. Линией пересечения плоскостей $MXY$ и $XYZ$ является прямая $XY$.
Следовательно, искомая точка является точкой пересечения прямых $AB$ и $XY$. Обозначим эту точку $D$. Для ее построения необходимо в плоскости $MXY$ продлить отрезки $AB$ и $XY$ до их пересечения.
По построению, точка $D$ принадлежит прямой $AB$, а значит, и плоскости $ABC$.
Также по построению, точка $D$ принадлежит прямой $XY$, а значит, и плоскости $XYZ$.
Таким образом, точка $D$ является второй общей точкой плоскостей $ABC$ и $XYZ$.

3. Построение искомой прямой.

Мы нашли две точки, $C$ и $D$, которые одновременно принадлежат обеим плоскостям. Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Так как мы нашли две общие точки, то прямая пересечения однозначно определяется этими двумя точками.
Следовательно, искомая прямая пересечения плоскостей $ABC$ и $XYZ$ — это прямая, проходящая через точки $C$ и $D$.

Ответ: Искомая прямая, по которой пересекаются плоскости $ABC$ и $XYZ$, есть прямая $CD$, где точка $D$ является точкой пересечения прямых $AB$ и $XY$.