Номер 57, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

57. Ребро основания правильной треугольной призмы IJKPML (рис. 101) относится к боковому ребру как 2 : 3. Найдите боковую поверхность призмы, учитывая, что длина ломаной IPLKMI равна $16 + 4\sqrt{13}$ дм.

Рис. 101

Обозначим ребро основания правильной треугольной призмы как $a$, а боковое ребро (которое также является высотой призмы) как $h$.

По условию задачи, ребро основания относится к боковому ребру как 2 : 3. Это можно записать в виде пропорции: $$ \frac{a}{h} = \frac{2}{3} $$ Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно выразить $a$ и $h$ через $x$: $$ a = 2x $$ $$ h = 3x $$

Далее рассмотрим ломаную линию $IPLKMI$ и найдем ее длину. Ломаная состоит из следующих отрезков:

• $IP$ — боковое ребро призмы. Его длина равна $h$.
• $PL$ — ребро верхнего основания. Так как призма правильная, ее основания — равносторонние треугольники. Следовательно, длина $PL$ равна $a$.
• $LK$ — боковое ребро призмы. Его длина равна $h$.
• $KM$ — диагональ боковой грани $JKLM$. Боковая грань является прямоугольником со сторонами $JK=a$ и $KL=h$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $KLM$, длина диагонали $KM$ равна: $$ KM = \sqrt{KL^2 + LM^2} = \sqrt{h^2 + a^2} $$
• $MI$ — диагональ боковой грани $IJMP$. Эта грань также является прямоугольником со сторонами $IJ=a$ и $IP=h$. В прямоугольном треугольнике $IPM$ ($IP \perp PM$), длина диагонали $MI$ равна: $$ MI = \sqrt{IP^2 + PM^2} = \sqrt{h^2 + a^2} $$

Теперь сложим длины всех отрезков, чтобы найти общую длину ломаной $L$: $$ L = IP + PL + LK + KM + MI = h + a + h + \sqrt{h^2 + a^2} + \sqrt{h^2 + a^2} $$ $$ L = a + 2h + 2\sqrt{h^2 + a^2} $$

Подставим в это выражение $a = 2x$ и $h = 3x$: $$ L = 2x + 2(3x) + 2\sqrt{(3x)^2 + (2x)^2} $$ $$ L = 2x + 6x + 2\sqrt{9x^2 + 4x^2} $$ $$ L = 8x + 2\sqrt{13x^2} $$ Поскольку $x$ представляет собой часть длины, $x > 0$, поэтому $\sqrt{x^2} = x$. $$ L = 8x + 2x\sqrt{13} $$

По условию задачи, длина ломаной равна $16 + 4\sqrt{13}$ дм. Составим и решим уравнение: $$ 8x + 2x\sqrt{13} = 16 + 4\sqrt{13} $$ Вынесем общие множители за скобки в обеих частях уравнения: $$ 2x(4 + \sqrt{13}) = 4(4 + \sqrt{13}) $$ Разделим обе части уравнения на $(4 + \sqrt{13})$, так как это выражение не равно нулю: $$ 2x = 4 $$ $$ x = 2 $$

Теперь мы можем найти значения длины ребра основания $a$ и бокового ребра $h$: $$ a = 2x = 2 \cdot 2 = 4 \text{ дм} $$ $$ h = 3x = 3 \cdot 2 = 6 \text{ дм} $$

Наконец, найдем площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$. Боковая поверхность правильной треугольной призмы состоит из трех одинаковых прямоугольников, каждый площадью $a \cdot h$. $$ S_{бок} = 3 \cdot a \cdot h $$ Подставим найденные значения $a$ и $h$: $$ S_{бок} = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72 \text{ дм}^2 $$

Ответ: $72 \text{ дм}^2$.