Номер 17, страница 149 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

17. Какая имеется связь между координатами вектора и единичными координатными векторами?

Связь между координатами вектора и единичными координатными векторами (также называемыми ортами) заключается в том, что любой вектор можно представить в виде суммы единичных координатных векторов, умноженных на соответствующие координаты этого вектора. Такое представление называется разложением вектора по базису.

Любой вектор в прямоугольной системе координат можно выразить через единичные координатные векторы. Эти векторы сонаправлены с осями координат, их длина равна единице, и они взаимно перпендикулярны.

Для двумерного пространства (на плоскости)

В системе координат Oxy единичными координатными векторами являются:

$\vec{i}$ — единичный вектор оси Ox, его координаты $\{1; 0\}$.
$\vec{j}$ — единичный вектор оси Oy, его координаты $\{0; 1\}$.

Любой вектор $\vec{a}$ с координатами $\{x; y\}$ можно представить в виде линейной комбинации (суммы) векторов $\vec{i}$ и $\vec{j}$:

$\vec{a} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j}$

В этой формуле числа $x$ и $y$ и есть координаты вектора $\vec{a}$. Они показывают, во сколько раз нужно "растянуть" или "сжать" единичные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ соответственно, чтобы их векторная сумма дала исходный вектор $\vec{a}$.

Для трехмерного пространства

Аналогично, в системе координат Oxyz добавляется еще один единичный координатный вектор:

$\vec{i}$ — единичный вектор оси Ox, его координаты $\{1; 0; 0\}$.
$\vec{j}$ — единичный вектор оси Oy, его координаты $\{0; 1; 0\}$.
$\vec{k}$ — единичный вектор оси Oz, его координаты $\{0; 0; 1\}$.

Любой вектор $\vec{b}$ с координатами $\{x; y; z\}$ в пространстве разлагается по этому базису следующим образом:

$\vec{b} = x \cdot \vec{i} + y \cdot \vec{j} + z \cdot \vec{k}$

Таким образом, основная связь состоит в том, что координаты вектора являются коэффициентами в его разложении по единичным координатным векторам.

Ответ: Координаты вектора являются коэффициентами в его разложении по единичным координатным векторам (ортам). Для вектора $\vec{a}$ с координатами $\{x; y; z\}$ эта связь выражается формулой: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $x, y, z$ являются координатами вектора $\vec{a}$, а $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — единичными координатными векторами.